Тройная корреляция

Тройная корреляция обычной функции на действительной прямой представляет собой интеграл от произведения этой функции на две независимо сдвинутые ее копии:

\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(x)f(x+s_{1})f(x+s_{2})dx.

Преобразование Фурье тройной корреляции представляет собой биспектр . Тройная корреляция расширяет концепцию автокорреляции , которая соотносит функцию с единственной сдвинутой копией самой себя и тем самым усиливает ее скрытую периодичность.

История

Теория тройной корреляции была впервые исследована статистиками, исследующими кумулянтную структуру негауссовских случайных процессов. Также он независимо изучался физиками как инструмент для спектроскопии лазерных лучей. Хидэя Гамо в 1963 году описал аппарат для измерения тройной корреляции лазерного луча, а также показал, как можно восстановить информацию о фазе из реальной части биспектра — вплоть до изменения знака и линейного смещения. Однако метод Гамо неявно требует, чтобы преобразование Фурье никогда не было равно нулю ни на какой частоте. Это требование было смягчено, и класс функций, которые, как известно, однозначно идентифицируются по своим тройным корреляциям (и более высокого порядка), был значительно расширен благодаря исследованию Йеллотта и Айверсона (1992). Йеллотт и Айверсон также указали на связь между тройными корреляциями и теорией распознавания визуальной текстуры, предложенной Белой Юлешем .

Приложения

Методы тройной корреляции часто используются при обработке сигналов для обработки сигналов, искаженных аддитивным белым гауссовским шумом ; в частности, методы тройной корреляции подходят, когда доступны множественные наблюдения сигнала и сигнал может транслироваться между наблюдениями, например, последовательность изображений объекта, транслируемого на шумном фоне. Что делает тройную корреляцию особенно полезной для таких задач, так это три ее свойства: (1) она инвариантна относительно трансляции основного сигнала; (2) он несмещен в аддитивном гауссовском шуме; и (3) он сохраняет почти всю соответствующую информацию о фазе основного сигнала. Свойства (1)-(3) тройной корреляции во многих случаях распространяются на функции на произвольной локально компактной группе , в частности на группы вращений и жестких движений евклидова пространства, возникающие в компьютерном зрении и обработке сигналов.

Расширение на группы

Тройная корреляция может быть определена для любой локально компактной группы с помощью левоинвариантной меры Хаара группы . Легко показать, что полученный объект инвариантен относительно левого перевода базовой функции и несмещен в аддитивном гауссовском шуме. Что более интересно, так это вопрос уникальности: когда две функции имеют одинаковую тройную корреляцию, как эти функции связаны? Во многих случаях, представляющих практический интерес, тройная корреляция функции в абстрактной группе однозначно идентифицирует эту функцию с точностью до одного неизвестного группового действия. Эта уникальность представляет собой математический результат, основанный на теореме двойственности Понтрягина , теореме двойственности Таннаки-Крейна и связанных с ними результатах Ивахори-Сугиуры и Тацуумы. Существуют алгоритмы восстановления функций с ограниченной полосой пропускания из их тройной корреляции в евклидовом пространстве, а также групп вращения в двух и трех измерениях. Существует также интересная связь с тауберовой теоремой Винера : любая функция, трансляция которой плотна по $L_{1}(G)$ , где $G$ — локально компактная абелева группа , также однозначно идентифицируется своей тройной корреляцией.

Ссылки

К. Хассельман, В. Мунк и Г. Макдональд (1963), «Биспектры океанских волн», в «Анализ временных рядов » , М. Розенблатт, редактор, Нью-Йорк: Wiley, 125–139.
Гамо, Х. (1963). «Тройной коррелятор фотоэлектрических флуктуаций как спектроскопический инструмент». Журнал прикладной физики . 34 (4): 875–876. Бибкод : 1963JAP....34..875G . дои : 10.1063/1.1729553 .
Йеллотт, Дж.; Айверсон, Дж.Дж. (1992). «Свойства уникальности автокорреляционных функций высших порядков» . Журнал Оптического общества Америки А. 9 (3): 388. Бибкод : 1992JOSAA...9..388Y . дои : 10.1364/JOSAA.9.000388 .
Р. Какарала (1992) Тройная корреляция на группах , доктор философии. Диссертация, факультет математики Калифорнийского университета в Ирвине.
Р. Кондор (2007), «Полный набор вращательных и трансляционно-инвариантных функций изображений», arXiv : cs/0701127