Окно Кайзера

Окно Кайзера для нескольких значений его параметра

Окно Кайзера , также известное как окно Кайзера-Бесселя , было разработано Джеймсом Кайзером в Bell Laboratories . Это однопараметрическое семейство оконных функций , используемых при с конечной импульсной характеристикой проектировании фильтров и спектральном анализе . Окно Кайзера аппроксимирует окно DPSS , которое максимизирует концентрацию энергии в главном лепестке. но что трудно вычислить.

Определение

Окно Кайзера и его преобразование Фурье определяются следующим образом :

$w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}{\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left(2x/L\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sin {\bigg (}{\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}{\bigg )}}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot {\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}}},$  

Преобразования Фурье двух окон Кайзера

где :

• I ₀ нулевого порядка , — модифицированная функция Бесселя первого рода
• L — продолжительность окна, а
• α — неотрицательное действительное число, определяющее форму окна. В частотной области он определяет компромисс между шириной основного лепестка и уровнем боковых лепестков, что является центральным решением при проектировании окна.
• Иногда окно Кайзера параметризуется β , где β = πα .

Для цифровой обработки сигналов функция может быть выбрана симметрично как :

$w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)={\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad 0\leq n\leq N,$

где длина окна $N+1,$ и N может быть четным или нечетным. (см. список оконных функций )

В преобразовании Фурье первый нуль после главного лепестка возникает при $f={\tfrac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{L}},$ что просто ${\sqrt {1+\alpha ^{2}}}$ в единицах N ( «бины» DFT ). По мере увеличения α ширина главного лепестка увеличивается, а амплитуда боковых лепестков уменьшается. α = 0 соответствует прямоугольному окну. При больших α форма окна Кайзера (как во временной, так и в частотной области) стремится к кривой Гаусса . Окно Кайзера почти оптимально с точки зрения концентрации пика вокруг частоты. $0.$

Окно Кайзера – Бесселя (KBD)

Родственной оконной функцией является окно Кайзера-Бесселя (KBD) , которое предназначено для использования с модифицированным дискретным косинусным преобразованием (MDCT). Оконная функция KBD определяется через окно Кайзера длины N +1 по формуле :

$d_{n}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{\mbox{if }}0\leq n<N\\{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{2N-1-n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{\mbox{if }}N\leq n\leq 2N-1\\0&{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}$

Это определяет окно длины 2 N , где по построению d _n удовлетворяет условию Принсена-Брэдли для MDCT (используя тот факт, что w _{N − n} = w _n ): d _n ² + ( д _{п + Н} ) ² = 1 (интерпретация n и n + N по модулю 2 N ). Окно KBD также симметрично, как и для MDCT: d _n = d _{2 N -1- n} .

Приложения

Окно KBD используется в Advanced Audio Coding цифровом аудиоформате .

Дальнейшее чтение

• Харрис, Фредрик Дж. (январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF) . Труды IEEE . 66 (1): 73 (ур. 46b). CiteSeerX   10.1.1.649.9880 . дои : 10.1109/PROC.1978.10837 .
• Кайзер, Джеймс Ф.; Шафер, Рональд В. (1980). «Об использовании окна I ₀ -sinh для спектрального анализа». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 28 : 105–107. дои : 10.1109/ТАССП.1980.1163349 .
• Смит, Дж. О. (2011). «Сравнение спектральной обработки аудиосигнала, Kaiser и DPSS Windows» . ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
• «Окно Кайзера, R2018b» . www.mathworks.com . Математические работы . Проверено 20 марта 2019 г.