Закон квадратного корня Пенроуза

В математической теории игр , закон квадратного корня Пенроуза первоначально сформулированный Лайонелом Пенроузом , касается распределения голосов в органе голосования, состоящем из N членов. ^[1]^[2]^[3] В нем говорится, что априорная сила голоса любого избирателя, измеряемая индексом Пенроуза – Банцхафа, $\psi$ весы как $1/{\sqrt {N}}$ .

Этот результат был использован для разработки метода Пенроуза для распределения весов голосов представителей в органах принятия решений, пропорциональных квадратному корню из представленного населения.

Короткий вывод

Чтобы оценить индекс голосования любого игрока, необходимо оценить количество возможных победных коалиций, в которых его голос является решающим. Предположим для простоты, что число избирателей нечетное, N = 2 j + 1, и орган голосует в соответствии со стандартным правилом большинства. Вслед за Пенроузом делается вывод, что данный избиратель сможет эффективно повлиять на результат голосования только в том случае, если голоса разделятся пополам: если j игроков говорят «Да», а оставшиеся j игроков голосуют «Нет», последний голос является решающим. .

Предполагая, что все члены органа голосуют независимо (голоса некоррелированы) и что вероятность каждого голоса «Да» равна p = 1/2, вероятность такого события можно оценить с помощью испытания Бернулли . Вероятность голосов получить j голосов «за» из 2 j равна

P_{j}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2j}{\frac {\left(2j\right)!}{\left(j!\right)^{2}}}.

Для больших N мы можем использовать приближение Стирлинга для факториала j ! и получим вероятность $\psi$ что голос данного избирателя является решающим

\psi =P_{j}\sim 2^{-2j}{\frac {(2j/e)^{2j}{\sqrt {4\pi j}}}{[(j/e)^{j}{\sqrt {2\pi j}}]^{2}}}\ =\ {\frac {1}{\sqrt {\pi j}}}\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{\sqrt {N}}}.

приближение получается для четного числа N. Такое же

Математическое исследование влияния возможных корреляций между избирателями на закон квадратного корня Пенроуза было представлено Киршем. ^[3]

Закон Пенроуза применяется для построения подобных Пенроузу систем двухуровневого голосования, включая Ягеллонский компромисс, разработанный для Совета Европейского Союза .

См. также

Ягеллонский компромисс

Ссылки

^ Пенроуз, Лайонел (1946), «Элементарная статистика голосования большинства», Журнал Королевского статистического общества , 109 (1), Blackwell Publishing: 53–57, doi : 10.2307/2981392 , JSTOR 2981392
^ Фельсенталь, Дэн С; Мачовер, Моше (1998), Теория и практика измерения количества голосов, проблемы и парадоксы , Челтнем: Эдвард Элгар
^ Jump up to: ^а ^б Кирш, В. (2013). «О законе квадратного корня Пенроуза и не только». Власть, голосование и право голоса: 30 лет спустя . стр. 365–387. arXiv : math/0611418 . дои : 10.1007/978-3-642-35929-3_20 . ISBN 978-3-642-35928-6 . S2CID 7946797 .

[1] Пенроуз, Лайонел (1946), «Элементарная статистика голосования большинства», Журнал Королевского статистического общества , 109 (1), Blackwell Publishing: 53–57, doi : 10.2307/2981392 , JSTOR 2981392

[2] Фельсенталь, Дэн С; Мачовер, Моше (1998), Теория и практика измерения количества голосов, проблемы и парадоксы , Челтнем: Эдвард Элгар

[kirsch-3] Jump up to: ^а ^б Кирш, В. (2013). «О законе квадратного корня Пенроуза и не только». Власть, голосование и право голоса: 30 лет спустя . стр. 365–387. arXiv : math/0611418 . дои : 10.1007/978-3-642-35929-3_20 . ISBN 978-3-642-35928-6 . S2CID 7946797 .

[1]

[2]

[3]