пара Бэйли

В математике пара Бейли — это пара последовательностей, удовлетворяющих определенным соотношениям, а цепочка Бейли — это последовательность пар Бейли. Пары Бейли были введены У. Н. Бэйли ( 1947 , 1948 ) при изучении второго доказательства Роджерсом 1917 тождеств Роджерса-Рамануджана , а цепи Бейли были введены Эндрюсом (1984) .

Определение

Символы q -Похгаммера $(a;q)_{n}$ определяются как:

(a;q)_{n}=\prod _{0\leq j<n}(1-aq^{j})=(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}).

Пара последовательностей (αn _, βn ₎ называется парой Бейли, если они связаны соотношением

\beta _{n}=\sum _{r=0}^{n}{\frac {\alpha _{r}}{(q;q)_{n-r}(aq;q)_{n+r}}}

или эквивалентно

\alpha _{n}=(1-aq^{2n})\sum _{j=0}^{n}{\frac {(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{n-j \choose 2}\beta _{j}}{(q;q)_{n-j}}}.

Лемма Бейли

Лемма Бейли утверждает, что если (α _n ,β _n ) является парой Бейли, то таковой является и (α' _n ,β' _n ), где

\alpha _{n}^{\prime }={\frac {(\rho _{1};q)_{n}(\rho _{2};q)_{n}(aq/\rho _{1}\rho _{2})^{n}\alpha _{n}}{(aq/\rho _{1};q)_{n}(aq/\rho _{2};q)_{n}}}

\beta _{n}^{\prime }=\sum _{j\geq 0}{\frac {(\rho _{1};q)_{j}(\rho _{2};q)_{j}(aq/\rho _{1}\rho _{2};q)_{n-j}(aq/\rho _{1}\rho _{2})^{j}\beta _{j}}{(q;q)_{n-j}(aq/\rho _{1};q)_{n}(aq/\rho _{2};q)_{n}}}.

Другими словами, по одной паре Бейли можно построить вторую, используя приведенные выше формулы. Этот процесс можно повторять для создания бесконечной последовательности пар Бейли, называемой цепочкой Бейли .

Примеры

Пример пары Бейли дан ( Эндрюс, Аски и Рой 1999 , стр. 590).

\alpha _{n}=q^{n^{2}+n}\sum _{j=-n}^{n}(-1)^{j}q^{-j^{2}},\quad \beta _{n}={\frac {(-q)^{n}}{(q^{2};q^{2})_{n}}}.

Л. Дж. Слейтер ( 1952 ) привел список из 130 примеров, относящихся к парам Бейли.

Ссылки

Эндрюс, Джордж Э. (1984), «Тождества типа Роджерса-Рамануджана в нескольких сериях» , Pacific Journal of Mathematics , 114 (2): 267–283, doi : 10.2140/pjm.1984.114.267 , ISSN 0030-8730 , MR 0757501
Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард ; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 71, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-62321-6 , МР 1688958
Бейли, WN (1947), «Некоторые тождества в комбинаторном анализе», Труды Лондонского математического общества , вторая серия, 49 (6): 421–425, doi : 10.1112/plms/s2-49.6.421 , ISSN 0024-6115 , МР 0022816
Бейли, WN (1948), «Личность типа Роджерса-Рамануджана», Proc. Лондонская математика. Соц. , с2-50 (1): 1–10, дои : 10.1112/plms/s2-50.1.1
Пол, Питер , Концепция Bailey Chains (PDF)
Слейтер, LJ (1952), «Дальнейшие тождества типа Роджерса-Рамануджана», Труды Лондонского математического общества , Вторая серия, 54 (2): 147–167, doi : 10.1112/plms/s2-54.2.147 , ISSN 0024-6115 , МР 0049225
Варнаар, С. Оле (2001), «50 лет леммы Бейли», Алгебраическая комбинаторика и приложения (Gössweinstein, 1999) (PDF) , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 333–347, MR 1851961