Нулевой звук

Нулевой звук — это название, данное Львом Ландау в 1957 году уникальным квантовым колебаниям в квантовых ферми-жидкостях . Нулевой звук уже нельзя рассматривать как простую волну сжатия и разрежения, а скорее как флуктуацию в пространстве и времени функции распределения квазичастиц по импульсу. При незначительном (или значительном) изменении формы функции распределения Ферми нулевой звук распространяется в направлении головки поверхности Ферми без изменения плотности жидкости. Предсказания и последующие экспериментальные наблюдения нулевого звука было одним из ключевых подтверждений правильности теории ферми-жидкости Ландау .

Вывод из уравнения переноса Больцмана

Уравнение переноса Больцмана для общих систем в квазиклассическом пределе дает для ферми-жидкости:

${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial E}{\partial {\vec {p}}}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}-{\frac {\partial E}{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\text{St}}[f]$,

где $f({\vec {p}},{\vec {x}},t)=f_{0}({\vec {p}})+\delta f({\vec {p}},{\vec {x}},t)$ — плотность квазичастиц (здесь мы игнорируем спин ) с импульсом ${\vec {p}}$ и позиция ${\vec {x}}$ во время $t$, и $E({\vec {p}},{\vec {x}},t)=E_{0}({\vec {p}})+\delta E({\vec {p}},{\vec {x}},t)$ - энергия квазичастицы с импульсом ${\vec {p}}$ ( $f_{0}$ и $E_{0}$ обозначают равновесное распределение и энергию в равновесном распределении). Квазиклассический предел предполагает, что $f$ колеблется с угловой частотой $\omega$ и длина волны $\lambda =2\pi /k$, которые значительно ниже, чем $E_{\rm {F}}/\hbar$ и гораздо дольше, чем $\hbar /p_{\rm {F}}$ соответственно, где $E_{\rm {F}}$ и $p_{\rm {F}}$ — энергия и импульс Ферми соответственно, вокруг которых $f$ является нетривиальным. В первом порядке по отклонению от равновесия уравнение принимает вид

${\frac {\partial \delta f}{\partial t}}+{\frac {\partial E_{0}}{\partial {\vec {p}}}}\cdot {\frac {\partial \delta f}{\partial {\vec {x}}}}-{\frac {\partial \delta E}{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\frac {\partial f_{0}}{\partial {\vec {p}}}}={\text{St}}[f]$.

квазичастицы Когда средняя длина свободного пробега $\ell \ll \lambda$ (эквивалентно время релаксации $\tau \ll 1/\omega$), обычные звуковые волны («первый звук») распространяются с небольшим поглощением. Но при низких температурах $T$ (где $\tau$ и $\ell$ масштабировать как $T^{-2}$ ), длина свободного пробега превышает $\lambda$, и, как следствие, функционал столкновений ${\text{St}}[f]\approx 0$. В этом бесстолкновительном пределе возникает нулевой звук.

В теории ферми-жидкости энергия квазичастицы с импульсом ${\vec {p}}$ является

$E_{\rm {F}}+v_{\rm {F}}(|{\vec {p}}|-p_{\rm {F}})+\int {\frac {d^{3}{\vec {p}}'}{4\pi p_{\rm {F}}m^{*}}}F(p,p')\delta f(p')$,

где $F$ – соответствующим образом нормированный параметр Ландау, а

$f_{0}({\vec {p}})=\Theta (p_{\rm {F}}-|{\vec {p}}|)$.

Тогда аппроксимированное уравнение переноса имеет решения в виде плоских волн.

$\delta f({\vec {p}},{\vec {x}},t)=\delta (E({\vec {p}})-E_{\rm {F}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\nu ({\hat {p}})$,

с $\nu ({\hat {p}})$данный

$(\omega -v_{\rm {F}}{\hat {p}}\cdot {\hat {k}})\nu ({\hat {p}})=v_{\rm {F}}{\hat {p}}\cdot {\hat {k}}\int d^{2}{\frac {{\hat {p}}'}{4\pi }}F({\hat {p}},{\hat {p}}')\nu ({\hat {p}}')$.

Это функционально-операторное уравнение дает дисперсионное уравнение для нулевых звуковых волн с частотой $\omega$ и волновой вектор ${\vec {k}}$ . Уравнение переноса справедливо в режиме, когда $\hbar \omega \ll E_{\rm {F}}$ и $\hbar |{\vec {k}}|\ll p_{\rm {F}}$.

Во многих системах $F({\hat {p}},{\hat {p}}')$ лишь медленно зависит от угла между ${\hat {p}}$ и ${\hat {p}}'$. Если $F$ - константа, не зависящая от угла $F_{0}$ с $F_{0}>0$ (заметим, что это ограничение более строгое, чем неустойчивость Померанчука ) то волна имеет вид $\nu ({\hat {p}})\propto ({\omega }/({v_{\rm {F}}{\hat {p}}\cdot {\vec {k}}})-1)^{-1}$ и дисперсионное соотношение ${\frac {s}{2}}\log {\frac {s+1}{s-1}}-1=1/F_{0}$ где $s=\omega /{kv_{\rm {F}}}$ — отношение нулевой фазовой скорости звука к скорости Ферми. Если первые две компоненты Лежандра параметра Ландау значимы, $F({\hat {p}},{\hat {p}}')=F_{0}+F_{1}{\hat {p}}\cdot {\hat {p}}'$ и $F_{1}>6$, система также допускает асимметричное решение с нулевой звуковой волной $\nu ({\hat {p}})\propto {\sin(2\theta )}/({s-\cos {\theta }})e^{i\phi }$ (где $\phi$ и $\theta$ - азимутальный и полярный угол ${\hat {p}}$ о направлении распространения ${\hat {k}}$) и дисперсионное соотношение

$\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin ^{3}\theta \cos \theta }{s-\cos \theta }}d\theta ={\frac {4}{F_{1}}}$.

См. также

• Второй звук
• Третий звук

Дальнейшее чтение

• Пирс Коулман (2016). Введение в физику многих тел (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521864886 .