Теорема Конвея о круге

шестью Круг Конвея треугольника с ) ; концентрическими точками треугольника (сплошной черный), вписанной окружностью (пунктирный серый) и центром обоих кругов (белый отрезки сплошной и пунктирной линий одного цвета имеют одинаковую длину

В плоской геометрии теорема Конвея об окружности гласит, что когда стороны, встречающиеся в каждой вершине треугольника , удлиняются на длину противоположной стороны, шесть конечных точек трех полученных отрезков лежат на окружности , центр которой является центром отрезка. треугольник. Окружность, на которой лежат эти шесть точек, называется окружностью Конвея треугольника. Теорема и круг названы в честь математика Джона Хортона Конвея .

Доказательство

сегменты одинакового цвета имеют одинаковую длину ${\begin{aligned}\triangle IF_{c}P_{a}&\cong \triangle IF_{c}Q_{b}\cong \triangle IF_{a}P_{b}\\&\cong \triangle IF_{a}Q_{c}\cong \triangle IF_{b}P_{c}\\&\cong \triangle IF_{b}Q_{a}\\\Rightarrow \,|IP_{a}|&=|IQ_{a}|=|IP_{b}|=|IQ_{b}|\\&=|IP_{c}|=|IQ_{c}|\end{aligned}}$

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC , r — ее радиус, а F _a , F _b и F _c — три точки, в которых вписанная окружность касается сторон треугольника a , b и c . Поскольку (продолженные) стороны треугольника являются касательными к вписанной окружности, из этого следует, что IF _a , IF _b и IF _c перпендикулярны a , b и c . Кроме того, для отрезков верны следующие равенства. |AF _c |=|AF _b |, |BF _c |=|B _a |, |CF _a |=|C _b |. При этом все шесть треугольников IF _c P _a , IF _c Q _b , IF _a P _b , IF _a Q _c , IF _b Q _a и IF _b P _c имеют длину | АФ _с |+| БФ _с |+| CF _а | и сторону длины r с прямым углом между ними. Это означает, что согласно теореме сравнения SAS для треугольников все шесть треугольников конгруэнтны, что дает | ИП _а |=| IQ _а |=| ИП _б |=| IQ _б |=| ИП _c |=| IQ _c |. шесть точек , _Pa Qa , _Qc Pb , _{Итак ,} Qb , _и Pc есть _{находятся} то , _на одинаковом расстоянии от центра треугольника I лежат на общей окружности с I. центром

Дополнительные свойства

Радиус окружности Конвея равен

${\sqrt {r^{2}+s^{2}}}={\sqrt {\frac {a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+a^{2}c+ac^{2}+abc}{abc}}}$

где $r$ и $s$ — внутренний радиус и полупериметр треугольника.

Обобщение

Теорема Конвея о окружности как частный случай обобщения, называемого «теоремой о боковом делителе» (Вильерс) или «теоремой о дворниках» (Польстер))

Круг Конвея — это частный случай более общего круга для треугольника, который можно получить следующим образом: дан любой △ABC с произвольной точкой P на прямой AB. Постройте BQ = BP, CR = CQ, AS = AR, BT = BS, CU = CT. Тогда AU = AP и PQRSTU является циклическим.

Если вы поместите P на расширенную сторону треугольника AB так, что BP = b и BP полностью находится вне треугольника, то приведенные выше конструкции приведут к теореме Конвея об окружности.

См. также

• Список вещей, названных в честь Джона Хортона Конвея

Внешние ссылки

• Кимберлинг, Кларк. «Энциклопедия центров треугольников» .
• Колин Беверидж: Круг Конвея, доказательство без слов . Апериодик, 07 мая 2020 г.
• Колин Беверидж, Элизабет А. Уильямс: Теорема Конвея о круге: доказательство, на этот раз словесное . The A periodical, 11 июня 2020 (Видео, 9:12 мин.)
• Де Вильерс, Майкл. «Теорема Конвея о окружности как частный случай теоремы о боковом делителе (стеклоочистителе)» . Dynamicmathematicslearning.com .
• Польстер, Буркард (6 апреля 2024 г.). «Ирис Конвея и теорема дворника» . Матолог . Ютуб.