Полное частное

В метрической теории цепных дробей полное k -е частное получается _ζk игнорированием первых k частичных знаменателей ai _{правильных} . Например, если правильная цепная дробь задана формулой

$x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}},$

тогда последовательные полные факторы ζ _k имеют вид

${\begin{aligned}\zeta _{0}&=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]\\\zeta _{1}&=[a_{1};a_{2},a_{3},a_{4},\dots ]\\\zeta _{2}&=[a_{2};a_{3},a_{4},a_{5},\dots ]\\\zeta _{k}&=[a_{k};a_{k+1},a_{k+2},a_{k+3},\dots ].\,\end{aligned}}$

Рекурсивные отношения

Из определения, данного выше, мы можем сразу сделать вывод, что

$\zeta _{k}=a_{k}+{\frac {1}{\zeta _{k+1}}}=[a_{k};\zeta _{k+1}],\,$

или, что то же самое,

$\zeta _{k+1}={\frac {1}{\zeta _{k}-a_{k}}}.\,$

Полные частные и подходящие к x

Обозначая последовательные дроби правильной цепной дроби x = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , …] через A ₀ , A ₁ / B ₁ , A ₂ / B ₂ , … (как более полно объяснено в статье фундаментальные рекуррентные формулы ), можно показать, что

$x={\frac {A_{k}\zeta _{k+1}+A_{k-1}}{B_{k}\zeta _{k+1}+B_{k-1}}}\,$

для всех k ≥ 0.

Этот результат можно лучше понять, если вспомнить, что последовательные дроби бесконечной правильной цепной дроби приближаются к значению x по своего рода зигзагообразной схеме:

$A_{0}<{\frac {A_{2}}{B_{2}}}<{\frac {A_{4}}{B_{4}}}<\cdots <{\frac {A_{2n}}{B_{2n}}}<x<{\frac {A_{2n+1}}{B_{2n+1}}}<\cdots <{\frac {A_{5}}{B_{5}}}<{\frac {A_{3}}{B_{3}}}<{\frac {A_{1}}{B_{1}}}.\,$

так что, когда k четно, мы имеем A _k / B _k < x < A _{k +1} / B _{k +1} , а когда k нечетно, мы имеем A _{k +1} / B _{k +1} < x < A _k / B _k . В любом случае k + 1-е полное частное ζ _{k +1} — это уникальное действительное число, выражающее x в виде полусходящегося .

Полные частные и эквивалентные действительные числа

Отношение эквивалентности, определяемое LFT.

Рассмотрим набор дробно-линейных преобразований (LFT), определяемый формулой

$f(x)={\frac {a+bx}{c+dx}}\,$

где a , b , c и d — целые числа , а ad − bc = ±1. Поскольку этот набор LFT содержит единичный элемент (0 + x )/1, и поскольку он замкнут относительно композиции функций , и каждый член набора имеет обратный элемент в наборе, эти LFT образуют группу (групповая операция композиция функций), GL(2, Z ) .

Мы можем определить отношение эквивалентности на множестве действительных чисел с помощью этой группы дробно-линейных преобразований. Мы будем говорить, что два действительных числа x и y эквивалентны (записаны x ~ y ), если

$y=f(x)={\frac {a+bx}{c+dx}}\,$

для некоторых целых чисел a , b , c и d таких, что ad − bc = ±1.

Очевидно, что это отношение симметрично, рефлексивно и транзитивно, поэтому оно является отношением эквивалентности и может использоваться для разделения действительных чисел на классы эквивалентности . Все рациональные числа эквивалентны, поскольку каждое рациональное число эквивалентно нулю. Что можно сказать об иррациональных числах ? Подпадают ли они также под один класс эквивалентности?

Теорема об «эквивалентных» иррациональных числах

Два иррациональных числа x и y эквивалентны в соответствии с этой схемой тогда и только тогда, когда бесконечно длинные «хвосты» в их разложениях в виде правильных цепных дробей совершенно одинаковы. Точнее, можно доказать следующую теорему.

Пусть x и y — два иррациональных (действительных) числа, и пусть k в регулярную цепную дробь -е полное частное в разложении x и y обозначается через ζk _и ψk _{соответственно} . Тогда x ~ y (при эквивалентности, определенной в предыдущий раздел) тогда и только тогда, когда существуют целые положительные числа m и n такие, что ζ _m = ψ _n .

Пример

Золотое сечение φ — это иррациональное число с простейшим разложением в виде правильной цепной дроби: φ = [1; 1, 1, 1, …]. Теорема говорит нам, во-первых, что если x — любое действительное число, разложение которого в обычную цепную дробь содержит бесконечную строку [1, 1, 1, 1, …], то существуют целые числа a , b , c и d (при этом ad − bc = ±1) такие, что

$x={\frac {a+b\phi }{c+d\phi }}.\,$

И наоборот, если a , b , c и d являются целыми числами (при этом ad − bc = ±1), то разложение в регулярную цепную дробь каждого действительного числа y , которое можно выразить в форме

$y={\frac {a+b\phi }{c+d\phi }}\,$

в конечном итоге достигает «хвоста», который выглядит как обычная цепная дробь для φ.

Ссылки

• Рокетт, Эндрю М.; Сюс, Питер (1992). Продолжительные дроби . Всемирная научная. стр. 4–8 . ISBN  981-02-1052-3 .