Эргодическая последовательность

В математике эргодическая последовательность — это определенный тип целочисленной последовательности , обладающий определенными свойствами равнораспределения.

Определение

Позволять $A=\{a_{j}\}$ — бесконечная строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда для данного целого числа q эта последовательность называется эргодической по модулю q , если для всех целых чисел $1\leq k\leq q$ , у одного есть

\lim _{t\to \infty }{\frac {N(A,t,k,q)}{N(A,t)}}={\frac {1}{q}}

где

N(A,t)={\mbox{card}}\{a_{j}\in A:a_{j}\leq t\}

а card — это количество (количество элементов) набора, так что $N(A,t)$ — количество элементов в последовательности A , которые меньше или равны t , и

N(A,t,k,q)={\mbox{card}}\{a_{j}\in A:a_{j}\leq t,\,a_{j}\mod q=k\}

так $N(A,t,k,q)$ — количество элементов в последовательности A , меньших, чем t , которые эквивалентны k по модулю q . То есть последовательность является эргодической, если она становится равномерно распределенной по модулю q при стремлении последовательности к бесконечности.

Эквивалентное определение состоит в том, что сумма

\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{N(A,t)}}\sum _{j;a_{j}\leq t}\exp {\frac {2\pi ika_{j}}{q}}=0

исчезают для любого целого числа k с $k\mod q\neq 0$ .

Если последовательность эргодична для всех q , то ее иногда называют эргодической для периодических систем .

Примеры

Последовательность натуральных чисел эргодична для всех q .

Почти все последовательности Бернулли , то есть последовательности, связанные с процессом Бернулли , эргодичны для всех q . То есть пусть $(\Omega ,Pr)$ быть вероятностным пространством над случайных величин двумя буквами $\{0,1\}$ . Тогда, учитывая $\omega \in \Omega$ , случайная величина $X_{j}(\omega )$ равен 1 с некоторой вероятностью p и равен нулю с некоторой вероятностью 1- p ; это определение процесса Бернулли. Связанный с каждым $\omega$ это последовательность целых чисел