Фидуциальный вывод

Фидуциальный вывод — это один из множества различных типов статистического вывода . Это правила, предназначенные для общего применения, с помощью которых можно делать выводы на основе образцов данных. В современной статистической практике попытки работать с фидуциальным выводом вышли из моды в пользу частотного вывода , байесовского вывода и теории принятия решений . Однако фидуциальный вывод важен в истории статистики концепций и инструментов теоретической статистики , поскольку его развитие привело к параллельному развитию широко используемых . Некоторые текущие исследования в области статистической методологии либо явно связаны с фидуциальным выводом, либо тесно с ним связаны.

Фон

Общий подход фидуциального вывода был предложен Рональдом Фишером . Здесь «фидуциал» происходит от латинского слова «вера». Фидуциальный вывод можно интерпретировать как попытку выполнить обратную вероятность без обращения к априорным распределениям вероятностей . Фидуциальный вывод быстро вызвал споры и так и не получил широкого признания. Действительно, вскоре были опубликованы контрпримеры утверждениям Фишера о фидуциальном выводе. Эти контрпримеры ставят под сомнение последовательность «доверительного вывода» как системы статистического вывода или индуктивной логики . Другие исследования показали, что там, где шаги фидуциального вывода, как говорят, приводят к «фидуциальным вероятностям» (или «фидуциальным распределениям»), эти вероятности лишены свойства аддитивности и поэтому не могут представлять собой вероятностную меру .

Понятие доверительного вывода можно обрисовать путем сравнения его решения проблемы интервальной оценки по отношению к другим режимам статистического вывода.

• Доверительный интервал в частотном выводе с вероятностью охвата γ имеет интерпретацию, согласно которой среди всех доверительных интервалов, вычисленных одним и тем же методом, доля γ будет содержать истинное значение, которое необходимо оценить. Это либо интерпретация повторной выборки (или частотная интерпретация ), либо вероятность того, что интервал, рассчитанный на основе данных, которые еще не были отобраны, покроет истинное значение. Однако в любом случае рассматриваемая вероятность не является вероятностью того, что истинное значение находится в конкретном рассчитанном интервале, поскольку на этом этапе как истинное значение, так и рассчитанный интервал фиксированы и не являются случайными.
• Достоверные интервалы в байесовском выводе позволяют определить вероятность того события, что интервал после его расчета действительно включает в себя истинное значение, поскольку он основан на том, что распределение вероятностей может быть связано с состоянием знание об истинном значении как до, так и после получения выборки данных.

Фишер разработал фидуциальный метод для решения предполагаемых проблем байесовского подхода в то время, когда частотный подход еще не был полностью разработан. Такие проблемы связаны с необходимостью присвоить априорное распределение неизвестным значениям. Целью было создать процедуру, подобную байесовскому методу, результаты которой могли бы быть интерпретированы обратной вероятностью на основе фактических наблюдаемых данных. Метод основан на попытке получить «достоверное распределение», которое является мерой степени доверия, которое можно применить к любому заданному значению неизвестного параметра и которое соответствует данным в том смысле, что метод использует всю доступную информацию. .

К сожалению, Фишер не дал общего определения фидуциального метода и отрицал, что этот метод всегда можно применить. Его единственные примеры были для одного параметра; при наличии нескольких параметров были даны различные обобщения. Относительно полное представление фидуциального подхода к выводу дано Кенуем (1958), а Уильямс (1959) описывает применение фидуциального анализа к проблеме калибровки (также известного как «обратная регрессия») в регрессионном анализе . Дальнейшее обсуждение фидуциального вывода дано Кендаллом и Стюартом (1973).

Фидуциальное распределение

Фишеру требовалось наличие достаточной статистики для применения фидуциального метода. Предположим, что существует единственная достаточная статистика для одного параметра. То есть предположим, что условное распределение данных по статистике не зависит от значения параметра. Например, предположим, что n независимых наблюдений равномерно распределены на интервале $[0,\omega ]$. Максимум X из n наблюдений является достаточной статистикой для ω . Если записано только X , а значения остальных наблюдений забыты, эти оставшиеся наблюдения с равной вероятностью имели какие-либо значения в интервале $[0,X]$. Это утверждение не зависит от значения ω . Тогда X содержит всю доступную информацию о ω , а другие наблюдения не могли бы дать никакой дополнительной информации.

Кумулятивная распределения X равна функция

$F(x)=P(X\leq x)=P\left({\text{all observations}}\leq x\right)=\left({\frac {x}{\omega }}\right)^{n}.$

Могут быть сделаны утверждения о вероятности относительно X / ω . Например, при заданном α значение a можно выбрать с 0 < a <1 так, что

$P\left(X>\omega a\right)=1-a^{n}=\alpha .$

Таким образом

$a=(1-\alpha )^{1/n}.$

Тогда Фишер мог бы сказать, что это утверждение можно обратить к виду

$P\left(\omega <{\frac {X}{a}}\right)=\alpha .$

В этом последнем утверждении ω теперь считается переменной, а X фиксированным, тогда как раньше было наоборот. Это распределение ω представляет собой доверительное распределение , которое можно использовать для формирования доверительных интервалов, которые представляют степени доверия.

Расчет идентичен базовому методу нахождения доверительного интервала, но интерпретация другая. Фактически, в старых книгах термины доверительный интервал и доверительный интервал используются как взаимозаменяемые. Обратите внимание, что доверительное распределение однозначно определяется, когда существует единственная достаточная статистика.

Ключевой метод основан на случайной величине, которая является функцией как наблюдений, так и параметров, но распределение которой не зависит от параметра. Такие случайные величины называются основными величинами . Используя их, можно сделать утверждения о вероятности наблюдений и параметров, в которых вероятности не зависят от параметров, и их можно инвертировать путем решения параметров почти так же, как в приведенном выше примере. Однако это эквивалентно фидуциальному методу только в том случае, если основная величина однозначно определена на основе достаточной статистики.

Доверительный интервал можно рассматривать как другое название доверительного интервала и дать ему доверительную интерпретацию. Но тогда определение может быть не единственным. Фишер бы отрицал правильность этой интерпретации: по его мнению, доверительное распределение должно было быть определено однозначно и использовать всю информацию выборки.

Статус подхода

Фишер признал, что «доверительный вывод» имел проблемы. Фишер написал Джорджу А. Барнарду , что у него «неясно в голове» одна проблема, связанная с фидуциальным выводом: а также в письме Барнарду Фишер жаловался, что его теория, похоже, имеет лишь «асимптотический подход к понятности». Позже Фишер признался: «Я пока не понимаю, что делает фидуциальная вероятность. Нам придется жить с ней долгое время, прежде чем мы узнаем, что она для нас делает. Но ее не следует игнорировать только потому, что у нас еще нет ясная интерпретация».

Деннис Линдли показал, что фидуциальная вероятность лишена аддитивности и поэтому не является вероятностной мерой . Кокс отмечает что тот же аргумент применим и к так называемому « доверительному распределению », связанному с доверительными интервалами , поэтому вывод, который следует сделать из этого, является спорным. Фишер набросал «доказательства» результатов, используя доверительную вероятность. Было показано, что, когда выводы фидуциальных аргументов Фишера не ложны, многие из них также следуют из байесовских выводов.

В 1978 году Дж. Г. Педерсон писал, что «фидуциальный аргумент имел очень ограниченный успех и теперь практически мертв». Дэвисон писал: «Было предпринято несколько последующих попыток возродить фидуциализм, но теперь он кажется во многом исторически важным, особенно с учетом его ограниченного диапазона применимости, когда он ставится рядом с моделями, представляющими текущий интерес».

Фидуциальный вывод все еще изучается, и его принципы могут быть полезны для некоторых научных приложений.

Библиография

• Кокс, Д.Р. (2006). Принципы статистического вывода , CUP. ISBN   0-521-68567-2 .
• Фишер, Р.А. (1956). Статистические методы и научные выводы . Нью-Йорк: Хафнер. ISBN  978-0-02-844740-7 .
• Фишер, Рональд «Статистические методы и научная индукция» Журнал Королевского статистического общества, серия B 17 (1955), 69–78. (критика статистических теорий Ежи Неймана и Абрахама Вальда с фидуциальной точки зрения)
• Нейман, Ежи (1956). «Примечание к статье сэра Рональда Фишера». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 18 (2): 288–294. JSTOR   2983716 . (ответ Фишеру 1955, который диагностирует ошибочность «доверительного вывода»)
• Тьюки, JW, изд. (1950). Вклад Р. А. Фишера в математическую статистику . Нью-Йорк: Уайли.
• Кенуй, MH (1958) Основы статистических рассуждений . Гриффин, Лондон
• Уильямс, EJ (1959) Регрессионный анализ , Wiley LCCN   59-11815
• Янг, Г.А., Смит, Р.Л. (2005) Основы статистического вывода , CUP. ISBN   0-521-83971-8
• Фрейзер, DAS (1961). «Фидуциальный метод и инвариантность». Биометрика . 48 (3/4): 261–80. дои : 10.2307/2332749 . JSTOR   2332749 .
• Фрейзер, DAS (1961). «О доверительном выводе» . Анналы математической статистики . 32 (3): 661–676. дои : 10.1214/aoms/1177704962 .