Прямая интеграция балки

Прямое интегрирование — это метод структурного анализа для измерения внутреннего сдвига, внутреннего момента, вращения и отклонения балки.

Для балки с приложенным грузом $w(x)$ , приняв значение вниз за положительное, внутренняя сила сдвига определяется как отрицательный интеграл от веса:

V(x)=-\int w(x)\,dx

Внутренний момент $M(x)$ – интеграл внутреннего сдвига:

M(x)=\int V(x)\,dx

=

-\int \left[\int w(x)\,dx\right]dx

Угол поворота от горизонтали, $\theta$ , представляет собой интеграл внутреннего момента, разделенный на произведение модуля Юнга и момента инерции площади :

\theta (x)={\frac {1}{EI}}\int M(x)\,dx

Интегрирование угла поворота дает вертикальное смещение. $\nu$ :

\nu (x)=\int \theta (x)\,dx

Интеграция

Каждый раз при интегрировании необходимо получить константу интегрирования. Эти константы определяются с использованием сил на опорах или на свободных концах.

Константы внутреннего сдвига и момента можно найти, анализируя диаграмму свободного тела балки .

Для вращения и перемещения константы находятся с использованием условий, зависящих от типа опор. Для консольной балки фиксированная опора не имеет вращения и смещения. Для балки, опирающейся на штифт и ролик, обе опоры имеют нулевое смещение.

Примеры расчетов

Просто опирающаяся балка с постоянной нагрузкой 10 кН на метр на длине 15 м.

Возьмите балку , показанную справа, поддерживаемую неподвижным штифтом слева и роликом справа. Приложенных моментов нет, вес равен 10 кН, а из-за симметрии каждая опора прилагает к балке вертикальную силу 75 кН. Принимая x за расстояние от штифта,

w(x)=10~{\textrm {kN}}/{\textrm {m}}

Интеграция,

V(x)=-\int w(x)\,dx=-10x+C_{1}({\textrm {kN}})

где $C_{1}$ представляет приложенные нагрузки. Для этих расчетов единственной нагрузкой, влияющей на балку, является нагрузка 75 кН, приложенная штифтом, приложенная в точке x = 0, что дает

V(x)=-10x+75({\textrm {kN}})

Интегрируя внутренний сдвиг,

M(x)=\int V(x)\,dx=-5x^{2}+75x({\textrm {kN}}\cdot {\textrm {m}})

где ввиду отсутствия приложенного момента

C_{2}=0

.

Предполагая, что значение EI равно 1 кН. $\cdot$ м $\cdot$ м (для простоты реальные для значения EI элементов конструкции , таких как сталь, обычно больше в десятикратной степени)

\theta (x)=\int {\frac {M(x)}{EI}}\,dx=-{\frac {5}{3}}x^{3}+{\frac {75}{2}}x^{2}+C_{3}({\textrm {m}}/{\textrm {m}})

* и

\nu (x)=\int \theta (x)\,dx=-{\frac {5}{12}}x^{4}+{\frac {75}{6}}x^{3}+C_{3}x+C_{4}({\textrm {m}})

Из-за вертикальных опор на каждом конце балки смещение ( $\nu$ ) при x = 0 и x = 15m равно нулю. Подставив (x = 0, ν(0) = 0) и (x = 15m, ν(15m) = 0), мы можем найти константы $C_{3}$ =-1406,25 и $C_{4}$ =0, что дает

\theta (x)=\int {\frac {M(x)}{EI}}\,dx=-{\frac {5}{3}}x^{3}+{\frac {75}{2}}x^{2}-1406.25({\textrm {m}}/{\textrm {m}})

и

\nu (x)=\int \theta (x)\,dx=-{\frac {5}{12}}x^{4}+{\frac {75}{6}}x^{3}-1406.25x({\textrm {m}})

Для данного значения EI максимальное смещение при x=7,5 м примерно в 440 раз превышает длину балки. Для более реалистичной ситуации, например, при равномерной нагрузке 1 кН и значении EI 5000 кН·м², смещение составит примерно 13 см.

Обратите внимание, что для вращения $\theta$ единицами измерения являются метры, разделенные на метры (или любые другие единицы длины, сводящиеся к единице). Это связано с тем, что вращение задается как наклон — вертикальное смещение, разделенное на горизонтальное изменение.

См. также

Ссылки

Хиббелер, Р.Ц., Механика материалов, шестое издание; Пирсон Прентис Холл, 2005. ISBN 0-13-191345-X .

Внешние ссылки

Отклонение луча методом двойного интегрирования