Байесовская эконометрика

Байесовская эконометрика — это раздел эконометрики , который применяет байесовские принципы к экономическому моделированию. , основанной на степени доверия Байесианство основано на интерпретации вероятности , в отличие от интерпретации относительной частоты.

Байесовский принцип основан на теореме Байеса , которая утверждает, что вероятность B при условии A представляет собой отношение совместной вероятности A и B, деленной на вероятность B. Специалисты по байесовской эконометрике предполагают, что коэффициенты в модели имеют априорные распределения .

Этот подход был впервые пропагандирован Арнольдом Зеллнером .

Основы

Основная статья: Байесовский вывод

Субъективные вероятности должны удовлетворять стандартным аксиомам теории вероятностей, если кто-то хочет избежать проигрыша ставки независимо от результата. Прежде чем данные наблюдаются, параметр $\theta$ рассматривается как неизвестная величина и, следовательно, случайная величина, которой присваивается априорное распределение. $\pi (\theta )$ с $0\leq \theta \leq 1$. Байесовский анализ концентрируется на выводе апостериорного распределения. $\pi (\theta |y)$, т.е. распределение случайной величины $\theta$ при условии наблюдения дискретных данных $y$. Функция апостериорной плотности $\pi (\theta |y)$ можно вычислить на основе теоремы Байеса :

$\pi (\theta |y)={\frac {p(y|\theta )\pi (\theta )}{p(y)}}$

где $p(y)=\int p(y|\theta )\pi (\theta )d\theta$, что дает нормализованную функцию вероятности. Для непрерывных данных $y$, это соответствует:

$\pi (\theta |y)={\frac {f(y|\theta )\pi (\theta )}{f(y)}}$

где $f(y)=\int f(y|\theta )\pi (\theta )d\theta$ и что является центральным элементом байесовской статистики и эконометрики. Он имеет следующие компоненты:

• $\pi (\theta |y)$: функция апостериорной плотности $\theta |y$;
• $f(y|\theta )$: функция правдоподобия , т.е. функция плотности наблюдаемых данных. $y$ когда значение параметра $\theta$;
• $\pi (\theta )$: предварительное распределение $\theta$;
• $f(y)$: функция плотности вероятности $y$.

Задняя функция определяется выражением $\pi (\theta |y)\propto f(y|\theta )\pi (\theta )$, т. е. апостериорная функция пропорциональна произведению функции правдоподобия и априорного распределения и может пониматься как метод обновления информации с разницей между $\pi (\theta )$ и $\pi (\theta |y)$ получение информации о $\theta$ после наблюдения новых данных. Выбор априорного распределения используется для наложения ограничений на $\theta$, например $0\leq \theta \leq 1$, при этом бета-распределение является распространенным выбором, поскольку (i) определяется между 0 и 1, (ii) позволяет создавать различные формы и (iii) дает апостериорное распределение стандартной формы в сочетании с правдоподобием функция $\theta ^{\Sigma y_{i}}(1-\theta )^{n-\Sigma y_{i}}$. Основываясь на свойствах бета-распределения, все больший размер выборки означает, что среднее значение апостериорного распределения приближается к оценке максимального правдоподобия. ${\bar {y}}.$Предполагаемая форма функции правдоподобия является частью априорной информации и должна быть обоснована. Различные предположения о распределении можно сравнить с использованием апостериорных отношений шансов , если априорные основания не обеспечивают четкого выбора. бета-распределение, гамма-распределение и равномерное распределение Обычно предполагаемые формы включают , среди прочего, . Если модель содержит несколько параметров, параметр можно переопределить как вектор. Применение теории вероятностей к этому вектору параметров дает маргинальные и условные распределения отдельных параметров или групп параметров. Если генерация данных является последовательной, байесовские принципы подразумевают, что апостериорное распределение параметра, основанное на новых данных, будет пропорционально произведению вероятности появления новых данных с учетом предыдущих данных и параметра, а также апостериорного распределения параметра с учетом старые данные, которые обеспечивают интуитивный способ позволить новой информации влиять на представления о параметре посредством Байесовское обновление . Если размер выборки велик, (i) априорное распределение играет относительно небольшую роль в определении апостериорного распределения, (ii) апостериорное распределение сходится к вырожденному распределению при истинном значении параметра и (iii) апостериорное распределение примерно нормально распределяется со средним значением ${\hat {\theta }}$.

История

Идеи, лежащие в основе байесовской статистики, были развиты преподобным Томасом Байесом в 18 веке и позже расширены Пьером -Симоном Лапласом . Еще в 1950 году потенциал байесовского вывода в эконометрике был признан Джейкобом Маршаком . Байесовский подход был впервые применен к эконометрике в начале 1960-х годов У.Д. Фишером, Жаком Дрезом , Клиффордом Хилдретом , Томасом Дж. Ротенбергом , Джорджем Тиао и Арнольдом Зеллнером . Центральной мотивацией этих ранних попыток байесовской эконометрики было сочетание средств оценки параметров с доступной неопределенной информацией о параметрах модели, которая не была включена в данную формулировку модели. С середины 1960-х до середины 1970-х годов в программе исследований доминировала переформулировка эконометрических методов на основе байесовских принципов в рамках традиционного структурного подхода, причем одним из ее основных моментов была книга Зеллнера «Введение в байесовский вывод в эконометрике» в 1971 году, и поэтому за ней внимательно следили. работа частотной эконометрики. При этом основными техническими проблемами были сложность определения априорных плотностей без потери экономической интерпретации или математической понятности, а также сложность интегрального расчета в контексте функций плотности. Результатом программы байесовской переформулировки стала демонстрация уязвимости структурных моделей перед неопределенными спецификациями. Эта хрупкость послужила мотивацией для работы Эдварда Лимера , который решительно критиковал склонность разработчиков моделей заниматься «построением моделей после данных» и, следовательно, разработал метод экономического моделирования, основанный на выборе регрессионных моделей в соответствии с типами априорной спецификации плотности. для того, чтобы явно идентифицировать предшествующие структуры, лежащие в основе правил работы разработчиков моделей при выборе модели. Байесовская эконометрика также стала привлекательной для попытки Кристофера Симса перейти от структурного моделирования к моделированию VAR из-за ее явной вероятностной спецификации ограничений параметров. Благодаря быстрому росту вычислительных мощностей с середины 1980-х годов применение моделирования цепей Маркова Монте-Карло к статистическим и эконометрическим моделям, впервые выполненное в начале 1990-х годов, позволило байесовскому анализу резко увеличить его влияние в экономике и эконометрике.

Текущие темы исследований

С начала 21 века исследования в области байесовской эконометрики были сосредоточены на:

• методы выборки, подходящие для распараллеливания и на графическом процессоре ; вычислений
• сложные экономические модели, учитывающие нелинейные эффекты и полную прогностическую плотность;
• анализ подразумеваемых особенностей модели и анализ решений;
• учет неполноты модели в эконометрическом анализе.

Ссылки

• Куп, Гэри; Пуарье, Дейл Дж.; Тобиас, Джастин Л. (2007). Байесовские эконометрические методы . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-85571-6 .
• Ланкастер, Тони (2004). Введение в современную байесовскую эконометрику . Блэквелл. ISBN  1-4051-1720-6 .
• Зеллнер, А. (1996). Введение в байесовский вывод в эконометрике (переиздание 1971 г.). Уайли. ISBN  0-471-16937-4 .
• Гринберг, Эдвард (2012). Введение в байесовскую эконометрику (второе изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-01531-9 .