Теорема Филлера

В статистике теорема Филлера позволяет вычислить доверительный интервал для отношения двух средних значений .

Приблизительный доверительный интервал

Переменные a и b могут измеряться в разных единицах, поэтому невозможно напрямую объединить стандартные ошибки , поскольку они также могут быть в разных единицах. Наиболее полное обсуждение этого вопроса дано Филлером (1954). ^{[ 1 ]}

Филеллер показал, что если a и b (возможно, коррелируют ) средние значения двух выборок с ожиданиями $\mu _{a}$ и $\mu _{b}$ и дисперсии $\nu _{11}\sigma ^{2}$ и $\nu _{22}\sigma ^{2}$ и ковариация $\nu _{12}\sigma ^{2}$ , и если $\nu _{11},\nu _{12},\nu _{22}$ все известны, то доверительный интервал (1 − α ) ( m _L , m _U ) для $\mu _{a}/\mu _{b}$ дается

(m_{L},m_{U})={\frac {1}{(1-g)}}\left[{\frac {a}{b}}-{\frac {g\nu _{12}}{\nu _{22}}}\mp {\frac {t_{r,\alpha }s}{b}}{\sqrt {\nu _{11}-2{\frac {a}{b}}\nu _{12}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\nu _{22}-g\left(\nu _{11}-{\frac {\nu _{12}^{2}}{\nu _{22}}}\right)}}\right]

где

g={\frac {t_{r,\alpha }^{2}s^{2}\nu _{22}}{b^{2}}}.

Здесь $s^{2}$ является несмещенной оценкой $\sigma ^{2}$ на основе r степеней свободы, и $t_{r,\alpha }$ это $\alpha$ -уровень отклоняется от t-распределения Стьюдента, основанного на r степенях свободы.

В этом контексте важны три особенности этой формулы:

а) Выражение внутри квадратного корня должно быть положительным, иначе полученный интервал будет мнимым.

б) Когда g очень близко к 1, доверительный интервал бесконечен.

в) Когда g больше 1, общий делитель вне квадратных скобок отрицательный, а доверительный интервал является исключающим.

Другие методы

Одна из проблем заключается в том, что, когда g не мало, доверительный интервал может разрушиться при использовании теоремы Филлера. Энди Грив предложил байесовское решение, в котором CI все еще разумны, хотя и широки. ^{[ 2 ]} Начальная загрузка предоставляет еще одну альтернативу, которая не требует предположения о нормальности. ^{[ 3 ]}

История

Эдгар К. Филлер (1907–1960) впервые начал работать над этой проблемой, когда работал в Карла Пирсона группе в Университетском колледже Лондона , где он проработал пять лет после окончания факультета математики Королевского колледжа в Кембридже . Затем он работал в компании Boots Pure Drug в качестве статистика и исследователя операций, прежде чем стать заместителем начальника отдела оперативных исследований истребительного командования Королевских ВВС во время Второй мировой войны , после чего он был назначен первым главой статистического отдела Национальной физической лаборатории . ^{[ 4 ]}

См. также

Распределение по Гауссу

Примечания

^ Филлер, ЕС. (1954). «Некоторые проблемы интервальной оценки». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 16 (2): 175–185. JSTOR 2984043 .
^ О'Хаган А., Стивенс Дж.В., Монмартин Дж. (2000). «Вывод по кривой приемлемости экономической эффективности и коэффициенту экономической эффективности». Фармакоэкономика . 17 (4): 339–49. дои : 10.2165/00019053-200017040-00004 . ПМИД 10947489 . S2CID 35930223 .
^ Кэмпбелл, МК; Торгерсон, диджей (1999). «Начальная настройка: оценка доверительных интервалов для коэффициентов экономической эффективности» . QJM: Международный медицинский журнал . 92 (3): 177–182. дои : 10.1093/qjmed/92.3.177 . ПМИД 10326078 .
^ Ирвин, Дж. О.; Рест, Э. Д. Ван (1961). «Эдгар Чарльз Филлер, 1907–1960». Журнал Королевского статистического общества, серия А. 124 (2). Издательство Блэквелл: 275–277. JSTOR 2984155 .

Дальнейшее чтение

Пижо, Ирис ; Шефер, Джулиана; Ремель, Иоахим; Хаушке, Дитер (2003). «Оценка не меньшей эффективности нового лечения в трехгрупповом клиническом исследовании, включая плацебо». Статистика в медицине . 22 (6): 883–899. дои : 10.1002/сим.1450 . ПМИД 12627407 . S2CID 21180003 .
Филлер, ЕС (1932). «Распределение индекса в двумерном нормальном распределении». Биометрика . 24 (3–4): 428–440. дои : 10.1093/biomet/24.3-4.428 .
Филлер, ЕС. (1940) «Биологическая стандартизация инсулина». Журнал Королевского статистического общества (Приложение) . 1:1–54. JSTOR 2983630
Филлер, ЕС (1944). «Фундаментальная формула статистики биологических анализов и некоторые приложения». Ежеквартальный журнал фармации и фармакологии . 17 : 117–123.
Мотульский, Харви (1995) Интуитивная биостатистика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-508607-4
Сенн, Стивен (2007) Статистические проблемы разработки лекарств . Второе издание. Уайли. ISBN 0-471-97488-9
Хиршберг, Дж.; Лай, Дж. (2010). «Геометрическое сравнение доверительных интервалов Дельты и Филлера». Американский статистик . 64 (3): 234–241. дои : 10.1198/tast.2010.08130 . S2CID 122922413 .

[1] Филлер, ЕС. (1954). «Некоторые проблемы интервальной оценки». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 16 (2): 175–185. JSTOR 2984043 .

[2] О'Хаган А., Стивенс Дж.В., Монмартин Дж. (2000). «Вывод по кривой приемлемости экономической эффективности и коэффициенту экономической эффективности». Фармакоэкономика . 17 (4): 339–49. дои : 10.2165/00019053-200017040-00004 . ПМИД 10947489 . S2CID 35930223 .

[3] Кэмпбелл, МК; Торгерсон, диджей (1999). «Начальная настройка: оценка доверительных интервалов для коэффициентов экономической эффективности» . QJM: Международный медицинский журнал . 92 (3): 177–182. дои : 10.1093/qjmed/92.3.177 . ПМИД 10326078 .

[4] Ирвин, Дж. О.; Рест, Э. Д. Ван (1961). «Эдгар Чарльз Филлер, 1907–1960». Журнал Королевского статистического общества, серия А. 124 (2). Издательство Блэквелл: 275–277. JSTOR 2984155 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]