Теорема о дополнительном элементе

Теорема о дополнительных элементах (EET) — это аналитический метод, разработанный Р. Д. Миддлбруком для упрощения процесса определения движущей точки и передаточных функций для линейных электронных схем . ^[1] Как и теорема Тевенена , теорема о дополнительных элементах разбивает одну сложную задачу на несколько более простых.

Движущую точку и передаточные функции обычно можно найти с помощью схемных законов Кирхгофа . Однако могут возникнуть несколько сложных уравнений, которые мало что дают для понимания поведения схемы. Используя теорему о дополнительных элементах, элемент схемы (например, резистор ) можно удалить из схемы и найти желаемую движущую точку или передаточную функцию. Удалив элемент, наиболее усложняющий схему (например, элемент, создающий обратную связь ), можно будет легче получить желаемую функцию. Далее необходимо найти два поправочных коэффициента и объединить их с полученной ранее функцией, чтобы найти точное выражение.

Общая форма теоремы о дополнительных элементах называется теоремой о N-лишних элементах и позволяет одновременно удалить несколько элементов схемы. ^[2]

Общая формулировка

Теорема (об одном) дополнительном элементе выражает любую передаточную функцию как произведение передаточной функции с удаленным элементом и поправочным коэффициентом. Поправочный коэффициент состоит из импеданса дополнительного элемента и двух импедансов точки возбуждения, видимых дополнительным элементом: импеданс точки возбуждения с двойной нулевой инжекцией и импеданс точки возбуждения с одиночной инжекцией. Поскольку дополнительный элемент, как правило, можно удалить путем короткого замыкания или размыкания элемента, существуют две эквивалентные формы EET: ^[3] $H(s)=H_{\infty }(s){\frac {1+{\frac {Z_{n}(s)}{Z(s)}}}{1+{\frac {Z_{d}(s)}{Z(s)}}}}$ или, $H(s)=H_{0}(s){\frac {1+{\frac {Z(s)}{Z_{n}(s)}}}{1+{\frac {Z(s)}{Z_{d}(s)}}}}.$

Где передаточные функции и импедансы в области Лапласа в приведенных выше выражениях определяются следующим образом: $H (s)$ — передаточная функция с присутствующим дополнительным элементом. $H \infty (s)$ — передаточная функция с разомкнутым дополнительным элементом. $H 0 (s)$ – передаточная функция при короткозамкнутом дополнительном элементе. $Z (s)$ — импеданс дополнительного элемента. $Z d (s)$ — импеданс точки возбуждения с одним впрыском, «видимый» дополнительным элементом. $Z n (s)$ — импеданс ведущей точки с двойным нулевым впрыском, «видимый» дополнительным элементом.

Теорема о дополнительных элементах, между прочим, доказывает, что любая передаточная функция электрической цепи может быть выражена не более чем как билинейная функция любого конкретного элемента схемы.

Сопротивление движущейся точки

Импеданс рабочей точки одиночного впрыска

$Z d (s)$ находится путем обнуления входного сигнала передаточной функции системы (замыкание источника напряжения или размыкание источника тока) и определения импеданса между клеммами, к которым будет подключен дополнительный элемент при отсутствии дополнительного элемента. . Это сопротивление такое же, как эквивалентное сопротивление Тевенена.

Двойной нулевой импеданс точки возбуждения

$Z n (s)$ находится путем замены дополнительного элемента вторым источником тестового сигнала (либо источником тока, либо источником напряжения, в зависимости от ситуации). Затем $Z n (s)$ определяется как отношение напряжения на клеммах этого второго тестового источника к току, выходящему из его положительной клеммы, когда выход передаточной функции системы равен нулю для любого значения первичного входа в передаточную систему системы. функция.

На практике $Z n (s)$ можно найти, действуя в обратном направлении, исходя из того факта, что выходной сигнал передаточной функции равен нулю и что основной входной сигнал передаточной функции неизвестен. Затем, используя традиционные методы анализа цепей, чтобы выразить как напряжение на клеммах тестового источника дополнительного элемента, $v n (s)$ , так и ток, выходящий из положительных клемм тестового источника дополнительного элемента, $i n (s)$ , и вычислить $Z_{n}(s)=v_{n}(s)/i_{n}(s)$ . Хотя вычисление $Z n (s)$ является незнакомым процессом для многих инженеров, его выражения часто намного проще, чем выражения для $Z d (s),$ поскольку обнуление выходного сигнала передаточной функции часто приводит к тому, что другие напряжения/токи в цепи становятся недействительными. ноль, что может позволить исключить определенные компоненты из анализа.

Особый случай с передаточной функцией как собственным сопротивлением

В частном случае ЭЭТ может быть использован для нахождения входного сопротивления сети с добавлением элемента, обозначенного как «лишний». В этом случае $Z d$ равен полному сопротивлению входного сигнала источника испытательного тока, обнуленному или эквивалентному ему при разомкнутой цепи входа. Аналогично, поскольку выходной сигнал передаточной функции можно рассматривать как напряжение на входных клеммах, $Z n$ находится, когда входное напряжение равно нулю, т.е. входные клеммы закорочены. Таким образом, для этого конкретного приложения EET можно записать как: $Z_{\text{in}}=Z_{\text{in}}^{\infty }\cdot {\frac {1+{\frac {Z_{e}^{0}}{Z}}}{1+{\frac {Z_{e}^{\infty }}{Z}}}}$ где

$Z$ сопротивление выбрано в качестве дополнительного элемента
$Z_{\text{in}}^{\infty }$ это входное сопротивление с удаленным Z (или сделанным бесконечным)
$Z_{e}^{0}$ это импеданс, видимый дополнительным элементом Z при закороченном (или нулевом) входе.
$Z_{e}^{\infty }$ это импеданс, видимый дополнительным элементом Z при открытом (или бесконечном) входе.

Вычисление этих трех членов может показаться дополнительным усилием, но зачастую их легче вычислить, чем общее входное сопротивление.

Пример

Рисунок 1: Простая RC-цепь для демонстрации EET. Конденсатор (серая заливка) обозначен как дополнительный элемент.

Рассмотрим задачу нахождения $Z_{in}$ для схемы на рисунке 1 с использованием EET (обратите внимание, что для простоты значения всех компонентов равны единице). Если конденсатор (серая заливка) обозначен как дополнительный элемент, то $Z={\frac {1}{s}}.$

Убрав этот конденсатор из схемы, $Z_{in}^{\infty }=2\|1+1={\frac {5}{3}}.$

Вычисление импеданса, воспринимаемого конденсатором при закороченном входе, $Z_{e}^{0}=1\|(1+1\|1)={\frac {3}{5}}.$

Вычисление импеданса, воспринимаемого конденсатором при открытом входе, $Z_{e}^{\infty }=2\|1+1={\frac {5}{3}}.$

Поэтому, используя EET, $Z_{in}={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {1+{\frac {3}{5}}s}{1+{\frac {5}{3}}s}}={\frac {5+3s}{3+5s}}.$

Эта проблема была решена путем расчета трех простых импедансов в точках возбуждения путем проверки.

Усилители обратной связи

EET также полезен для анализа одно- и многоконтурных усилителей с обратной связью. В этом случае EET может принять форму модели асимптотического усиления .

См. также

Дальнейшее чтение

Кристоф Бассо Передаточные функции линейной схемы: введение в быстрые аналитические методы , первое издание, Wiley, IEEE Press, 2016, 978-1119236375

Ссылки

^ Ворпериан, Ватче (2002). Методы быстрого анализа электрических и электронных схем . Кембридж, Великобритания/Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 61–106. ISBN 978-0-521-62442-8 .
^ Ворпериан, Ватче (23 мая 2002 г.). Методы быстрого анализа электрических и электронных схем . стр. 137–139. ISBN 978-0-521-62442-8 .
^ Миддлбрук Р.Д. (1989). «Двойная нулевая инъекция и теорема о дополнительном элементе» (PDF) . Транзакции IEEE по образованию . 32 (3): 167–180. дои : 10.1109/13.34149 .

Внешние ссылки

[Vorpérian-1] Ворпериан, Ватче (2002). Методы быстрого анализа электрических и электронных схем . Кембридж, Великобритания/Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 61–106. ISBN 978-0-521-62442-8 .

[Vorpérian2-2] Ворпериан, Ватче (23 мая 2002 г.). Методы быстрого анализа электрических и электронных схем . стр. 137–139. ISBN 978-0-521-62442-8 .

[Middlebrook1-3] Миддлбрук Р.Д. (1989). «Двойная нулевая инъекция и теорема о дополнительном элементе» (PDF) . Транзакции IEEE по образованию . 32 (3): 167–180. дои : 10.1109/13.34149 .

[1]

[2]

[3]