Двойной операторный интеграл

В анализе функциональном двойные операторные интегралы (DOI) — это интегралы вида

$\operatorname {Q} _{\varphi }:=\int _{N}\int _{M}\varphi (x,y)\mathrm {d} E(x)\operatorname {T} \mathrm {d} F(y),$

где $\operatorname {T} :G\to H$ — ограниченный линейный оператор между двумя сепарабельными гильбертовыми пространствами ,

$E:(N,{\mathcal {A}})\to P(H),$

$F:(M,{\mathcal {B}})\to P(G),$

две спектральные меры , где $P(H)$ обозначает множество ортогональных проекций на $H$, и $\varphi$ представляет собой скалярную измеримую функцию, называемую символом DOI. Интегралы следует понимать в форме интегралов Стилтьеса .

Двойные операторные интегралы могут использоваться для оценки разностей двух операторов и иметь применение в теории возмущений . Теория была разработана в основном Михаилом Шлёмовичем Бирманом и Михаилом Захаровичем Соломяком в конце 1960-х и 1970-х годах, однако впервые они появились ранее в статье Далецкого и Крейна.

Двойные операторные интегралы

Карта

$\operatorname {J} _{\varphi }^{E,F}:\operatorname {T} \mapsto \operatorname {Q} _{\varphi }$

называется трансформатором . Мы просто пишем $\operatorname {J} _{\varphi }:=\operatorname {J} _{\varphi }^{E,F}$, когда станет ясно, какие спектральные меры мы рассматриваем.

Первоначально Бирман и Соломяк считали оператором Гильберта – Шмидта. $\operatorname {T}$ и определил спектральную меру ${\mathcal {E}}$ к

${\mathcal {E}}(\Lambda \times \Delta )\operatorname {T} :=E(\Lambda )\operatorname {T} F(\Delta ),\quad \operatorname {T} \in {\mathcal {S}}_{2},$

для измеримых множеств $\Lambda \times \Delta \subset N\times M$, то двойной операторный интеграл $\operatorname {Q} _{\varphi }$ может быть определен как

$\operatorname {Q} _{\varphi }:=\left(\int _{N\times M}\varphi (\lambda ,\mu )\;\mathrm {d} {\mathcal {E}}(\lambda ,\mu )\right)\operatorname {T}$

для ограниченных и измеримых функций $\varphi$. Однако можно посмотреть на более общие операторы $\operatorname {T}$ пока $\operatorname {Q} _{\varphi }$ остается ограниченным.

Примеры

Теория возмущений

Рассмотрим случай, когда $H=G$ является гильбертовым пространством и пусть $A$ и $B$ — два ограниченных самосопряженных оператора на $H$. Позволять $\operatorname {T} :=B-A$ и $f$ быть функцией на множестве $S$, такой, что спектры $\sigma (A)$ и $\sigma (B)$ находятся в $S$. По-прежнему, $\operatorname {I}$ является идентификационным оператором. Тогда по спектральной теореме $\operatorname {J} _{\lambda }\operatorname {I} =A$ и $\operatorname {J} _{\mu }\operatorname {I} =B$ и $\operatorname {J} _{\mu -\lambda }\operatorname {I} =\operatorname {T}$, следовательно

$f(B)-f(A)=\operatorname {J} _{f(\mu )-f(\lambda )}\operatorname {I} =\operatorname {J} _{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\operatorname {J} _{\mu -\lambda }\operatorname {I} =\operatorname {J} _{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\operatorname {T} =\operatorname {Q} _{\varphi }$

и так

$f(B)-f(A)=\int _{\sigma (A)}\int _{\sigma (B)}{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}(\mu -\lambda )\mathrm {d} E_{A}(\lambda )\mathrm {d} F_{B}(\mu )=\int _{\sigma (A)}\int _{\sigma (B)}{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\mathrm {d} E_{A}(\lambda )\operatorname {T} \mathrm {d} F_{B}(\mu ),$

где $E_{A}(\cdot )$ и $F_{B}(\cdot )$ обозначаем соответствующие спектральные меры $A$ и $B$.

Литература

• Бирман Михаил Шлемович; Соломяк, Михаил Захарович (1967). «Двойные операторные интегралы Стилтьеса». Темы математики. Физика . 1 . Консультанты Бюро Пленум Издательская Корпорация: 25–54.
• Бирман Михаил Шлемович; Соломяк, Михаил Захарович (1968). «Двойной операторный интеграл Стилтьеса. II». Темы математики. Физика . 2 . Консультанты Бюро Пленум Издательская Корпорация: 19–46.
• Пеллер, Владимир В. (2016). «Множественные операторные интегралы в теории возмущений». Бык. Математика. Наука . 6 : 15–88. arXiv : 1509.02803 . дои : 10.1007/s13373-015-0073-y . S2CID   119321589 .
• Birman, Mikhail Shlemovich; Solomyak, Mikhail Zakharovich (2002). Lectures on Double Operator Integrals .
• Кэри, Алан; Левитина, Галина (2022). «Двойной операторный интеграл». Теория индексов за пределами случая Фредгольма. Конспект лекций по математике . Конспект лекций по математике. Том. 232. Чам: Спрингер. стр. 15–40. дои : 10.1007/978-3-031-19436-8_2 . ISBN  978-3-031-19435-1 .