Оценка цены-прибыли

В эконометрике представляет собой процедуру , оценка Прайса-Винстена предназначенную для учета серийной корреляции типа AR(1) в линейной модели . Задуманный Зигбертом Прейсом и Кристофером Уинстеном в 1954 году. это модификация оценки Кокрейна – Оркатта в том смысле, что она не теряет первое наблюдение, что приводит к большей эффективности в результате и делает ее особым случаем допустимого обобщенного метода наименьших квадратов .

Теория

Рассмотрим модель

$y_{t}=\alpha +X_{t}\beta +\varepsilon _{t},\,$

где $y_{t}$ представляет собой временной ряд , представляющий интерес в момент времени t , $\beta$ вектор коэффициентов , $X_{t}$ представляет собой матрицу объясняющих переменных , а $\varepsilon _{t}$ это термин ошибки . Член ошибки может последовательно коррелировать с течением времени: $\varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+e_{t},\ |\rho |<1$ и $e_{t}$ это белый шум. В дополнение к преобразованию Кокрейна-Оркатта, которое

$y_{t}-\rho y_{t-1}=\alpha (1-\rho )+(X_{t}-\rho X_{t-1})\beta +e_{t},\,$

для t = 2,3,..., T процедура Прайса-Винстена производит разумное преобразование для t = 1 в следующем виде:

${\sqrt {1-\rho ^{2}}}y_{1}=\alpha {\sqrt {1-\rho ^{2}}}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}X_{1}\right)\beta +{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\varepsilon _{1}.\,$

обычная оценка методом наименьших квадратов Затем выполняется .

Процедура оценки

Сначала заметьте, что

$\mathrm {var} (\varepsilon _{t})=\mathrm {var} (\rho \varepsilon _{t-1}+e_{it})=\rho ^{2}\mathrm {var} (\varepsilon _{t-1})+\mathrm {var} (e_{it})$

Отмечая, что для стационарного процесса дисперсия постоянна во времени,

$(1-\rho ^{2})\mathrm {var} (\varepsilon _{t})=\mathrm {var} (e_{it})$

и таким образом,

$\mathrm {var} (\varepsilon _{t})={\frac {\mathrm {var} (e_{it})}{(1-\rho ^{2})}}$

Без ограничения общности предположим, что дисперсия белого шума равна 1. Чтобы выполнить оценку компактным способом, необходимо посмотреть на автоковариационную функцию члена ошибки, рассматриваемого при ударе модели:

$\mathrm {cov} (\varepsilon _{t},\varepsilon _{t+h})=\rho ^{h}\mathrm {var} (\varepsilon _{t})={\frac {\rho ^{h}}{1-\rho ^{2}}},{\text{ for }}h=0,\pm 1,\pm 2,\dots \,.$

Легко видеть, что дисперсионно-ковариационная матрица , $\mathbf {\Omega }$, модели

$\mathbf {\Omega } ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]{\frac {\rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[8pt]{\frac {\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}\end{bmatrix}}.$

Имея $\rho$ (или его оценку), мы видим, что

${\hat {\Theta }}=(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Z} )^{-1}(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Y} ),\,$

где $\mathbf {Z}$ представляет собой матрицу наблюдений независимой переменной ( X _t , t = 1, 2, ..., T ), включая вектор единиц, $\mathbf {Y}$ представляет собой вектор, объединяющий наблюдения над зависимой переменной ( y _t , t = 1, 2, ..., T ) и ${\hat {\Theta }}$ включает параметры модели.

Примечание

Чтобы понять, почему первоначальное предположение о наблюдении, высказанное Прейсом-Уинстеном (1954), является разумным, полезно рассмотреть механику процедуры обобщенной оценки наименьших квадратов, обрисованную выше. Обратная сторона $\mathbf {\Omega }$ можно разложить как $\mathbf {\Omega } ^{-1}=\mathbf {G} ^{\mathsf {T}}\mathbf {G}$ с

$\mathbf {G} ={\begin{bmatrix}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}&0&0&\cdots &0\\-\rho &1&0&\cdots &0\\0&-\rho &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

Предварительное умножение модели в матричной записи на эту матрицу дает преобразованную модель Прайса – Уинстена.

Ограничения

Член ошибки по-прежнему ограничен типом AR(1). Если $\rho$ неизвестно, рекурсивную процедуру ( оценка Кокрейна–Оркатта ) или поиск по сетке ( оценка Хилдрета–Лу для того чтобы сделать оценку осуществимой, можно использовать ). В качестве альтернативы полноинформационную процедуру максимального правдоподобия предложили Бич и Маккиннон , которая оценивает все параметры одновременно .

Дальнейшее чтение

• Судья Джордж Г.; Гриффитс, Уильям Э.; Хилл, Р. Картер; Ли, Цунг-Чао (1980). Теория и практика эконометрики . Нью-Йорк: Уайли. стр. 180–183. ISBN  0-471-05938-2 .
• Кмента, Ян (1986). Элементы эконометрики (второе изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 302–320 . ISBN  0-02-365070-2 .