Коэффициенты потенциала

В электростатике коэффициенты : потенциала определяют связь между зарядом и электростатическим потенциалом ( электрическим потенциалом ), который носит чисто геометрический характер

{\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+\cdots +p_{1n}Q_{n}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+\cdots +p_{2n}Q_{n}\\\vdots \\\phi _{n}=p_{n1}Q_{1}+\cdots +p_{nn}Q_{n}\end{matrix}}.

где $Q i$ — поверхностный заряд проводника $i$ . Коэффициентами потенциала являются коэффициенты $p ij$ . $φ i$ следует правильно читать как потенциал на $i$ -м проводнике, и, следовательно, « $p_{21}$ " — это $p,$ обусловленное зарядом 1 на проводнике 2.

p_{ij}={\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}=\left({\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}\right)_{Q_{1},...,Q_{j-1},Q_{j+1},...,Q_{n}}.

Обратите внимание, что:

$p ij = p ji$ по симметрии и
$p ij$ не зависит от заряда.

Физическое содержание симметрии таково:

если заряд

Q

на проводнике

j

приводит проводник

i

к потенциалу

φ

, то тот же заряд, помещенный на проводник

i,

приведет

проводник j

к тому же потенциалу

φ

.

Обычно коэффициенты используются при описании системы проводников, например, в конденсаторе .

Теория

Система проводников. Электростатический потенциал в точке $P$ равен $\phi _{P}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{j}}}$ .

Учитывая электрический потенциал на поверхности проводника $S i$ ( эквипотенциальная поверхность или точка $P$ , выбранная на поверхности $i$ ), содержащейся в системе проводников $j = 1, 2, ..., n$ :

\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{ji}}}{\mbox{ (i=1, 2..., n)}},

где $р джи = | р я - р j |$ , т.е. расстояние от элемента площади $da j$ до конкретной точки $r i$ на проводнике $i$ . $σ j$ , как правило, не распределяется равномерно по поверхности. Введем коэффициент $f j$ , описывающий, насколько фактическая плотность заряда отличается от средней и себя по положению на поверхности $j$ -го проводника:

{\frac {\sigma _{j}}{\langle \sigma _{j}\rangle }}=f_{j},

или

\sigma _{j}=\langle \sigma _{j}\rangle f_{j}={\frac {Q_{j}}{S_{j}}}f_{j}.

Затем,

\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {Q_{j}}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}.

Можно показать, что $\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}$ не зависит от распределения $\sigma _{j}$ . Следовательно, с

p_{ij}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}},

у нас есть

\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1, 2, ..., n)}}.

Пример

В этом примере мы используем метод коэффициентов потенциала для определения емкости двухпроводной системы.

Для двухпроводниковой системы система линейных уравнений имеет вид

{\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+p_{12}Q_{2}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+p_{22}Q_{2}\end{matrix}}.

У конденсатора заряд на двух проводниках равен и противоположный: $Q = Q 1 = - Q 2$ . Поэтому,

{\begin{matrix}\phi _{1}=(p_{11}-p_{12})Q\\\phi _{2}=(p_{21}-p_{22})Q\end{matrix}},

и

\Delta \phi =\phi _{1}-\phi _{2}=(p_{11}+p_{22}-p_{12}-p_{21})Q.

Следовательно,

C={\frac {1}{p_{11}+p_{22}-2p_{12}}}.

Связанные коэффициенты

Заметим, что массив линейных уравнений

\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{    (i = 1,2,...n)}}

можно инвертировать в

Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}\phi _{j}{\mbox{    (i = 1,2,...n)}}

где $c ij$ с $i = j$ называются коэффициентами емкости , а $c ij$ с $i \neq j$ называются коэффициентами электростатической индукции . ^[1]

Для системы двух сферических проводников, находящихся под одинаковым потенциалом, ^[2]

Q_{a}=(c_{11}+c_{12})V,\qquad Q_{b}=(c_{12}+c_{22})V

$Q=Q_{a}+Q_{b}=(c_{11}+2c_{12}+c_{bb})V$

Если два проводника несут равные и противоположные заряды,

\phi _{1}={\frac {Q(c_{12}+c_{22})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}},\qquad \quad \phi _{2}={\frac {-Q(c_{12}+c_{11})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}}

$\quad C={\frac {Q}{\phi _{1}-\phi _{2}}}={\frac {c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}{c_{11}+c_{22}+2c_{12}}}$

Можно показать, что система проводников имеет аналогичную симметрию $c ij = c ji$ .

Ссылки

^ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Электродинамика сплошных сред (Курс теоретической физики, т. 8), 2-е изд. (Баттерворт-Хайнеманн, Оксфорд, 1984), с. 4.
^ Лекнер, Джон (01 февраля 2011 г.). «Коэффициенты емкости двух сфер». Журнал электростатики . 69 (1): 11–14. дои : 10.1016/j.elstat.2010.10.002 .

Джеймс Клерк Максвелл (1873) Трактат об электричестве и магнетизме , § 86, стр. 89.

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Электродинамика сплошных сред (Курс теоретической физики, т. 8), 2-е изд. (Баттерворт-Хайнеманн, Оксфорд, 1984), с. 4.

[2] Лекнер, Джон (01 февраля 2011 г.). «Коэффициенты емкости двух сфер». Журнал электростатики . 69 (1): 11–14. дои : 10.1016/j.elstat.2010.10.002 .

[1]

[2]