Задача сглаживания (случайные процессы)

Проблема сглаживания (не путать со сглаживанием в статистике , обработке изображений и других контекстах) — это проблема оценки неизвестной функции плотности вероятности рекурсивно во времени с использованием дополнительных входящих измерений. Это одна из главных проблем, определенных Норбертом Винером . Сглаживатель — это алгоритм, реализующий решение этой проблемы, обычно основанный на рекурсивной байесовской оценке . Проблема сглаживания тесно связана с проблемой фильтрации , обе из которых изучаются в теории байесовского сглаживания.

Сглаживание часто представляет собой двухпроходный процесс, состоящий из прямых и обратных проходов. Рассмотрите возможность проведения оценки (прогноза/ретродиктации) текущего процесса (например, слежения за ракетой) на основе поступающих наблюдений. Когда поступают новые наблюдения, оценки прошлого необходимо обновить, чтобы получить более плавную (более точную) оценку всего предполагаемого пути до настоящего момента (с учетом новых наблюдений). Без обратного прохода (для ретродиктации ) последовательность предсказаний в алгоритме онлайн-фильтрации не выглядит гладкой. Другими словами, ретроспективно мы как будто используем будущие наблюдения для улучшения оценки точки в прошлом, когда эти наблюдения о будущих точках становятся доступными. Обратите внимание, что время оценки (которое определяет, какие наблюдения доступны) может отличаться от времени точки, относительно которой делается прогноз (которая подлежит прогнозированию/ретродикции). Наблюдения за более поздними временами можно использовать для обновления и улучшения оценок более ранних времен. Это приводит к более плавным оценкам (ретродикциям) всего пути.

Примеры сглаживателей

Некоторые варианты включают в себя:

• Рауха-Тунга-Штрибеля (RTS) более сглаживающий
• Гауссовы сглаживатели (например, расширенные сглаживатели Калмана или сглаживатели сигма-точки) для нелинейных моделей в пространстве состояний.
• Сглаживатели частиц

Путаница в терминах и взаимосвязь между проблемами

Термины «Сглаживание» и «Фильтрация» используются для четырех понятий, которые поначалу могут сбить с толку: сглаживание (в двух смыслах: оценка и свертка) и фильтрация (опять же в двух смыслах: оценка и свертка).

Сглаживание (оценка) и сглаживание (свертка), несмотря на то, что на английском языке они обозначаются одним и тем же названием, могут означать совершенно разные математические процедуры. Требования решаемых ими задач различны. Эти концепции отличаются контекстом (обработка сигналов или оценка случайных процессов).

Историческая причина этой путаницы заключается в том, что изначально Винер предложил «сглаживающий» фильтр, который представлял собой всего лишь свертку. Позже предложенные им решения для получения более плавной оценки разделили разработки на две отдельные концепции. Один из них касался достижения более плавной оценки с учетом прошлых наблюдений, а другой – сглаживания с использованием конструкции фильтра (разработка фильтра свертки).

И проблему сглаживания (в смысле оценки), и проблему фильтрации (в смысле оценки) часто путают со сглаживанием и фильтрацией в других контекстах (особенно нестохастической обработке сигналов, часто называемой различными типами свертки). Эти имена используются в контексте Второй мировой войны с проблемами, сформулированными такими людьми, как Норберт Винер . Одним из источников путаницы является то, что фильтр Винера имеет форму простой свертки. Однако в фильтре Винера задаются два временных ряда. Когда фильтр определен, ответом является простая свертка. Однако в более поздних разработках, таких как фильтрация Калмана, природа фильтрации отличается от свертки и заслуживает другого названия.

Это различие описывается в следующих двух смыслах:

1. Свертка. Сглаживание в смысле свертки проще. Например, скользящее среднее, фильтрация нижних частот, свертка с ядром или размытие с использованием фильтров Лапласа при обработке изображений . Часто это проблема конструкции фильтра . Особенно нестохастическая и небайесовская обработка сигналов без каких-либо скрытых переменных.

2. Оценка. Задача сглаживания (или сглаживания в смысле оценки) использует байесовские модели и модели в пространстве состояний для оценки скрытых переменных состояния. Это используется в контексте Второй мировой войны, определенном такими людьми, как Норберт Винер, в теории (стохастического) управления, радаре, обнаружении сигналов, отслеживании и т. д. Наиболее распространенным применением является сглаживатель Калмана, используемый с фильтром Калмана, который фактически разработан. от Рауха. Процедура называется рекурсией Калмана-Рауха.Это одна из главных задач, решенных Норбертом Винером . Самое главное, что в задаче фильтрации (смысл 2) используется информация от наблюдения до момента текущей выборки. При сглаживании (также в смысле 2) используются все выборки наблюдений (из будущего). Фильтрация является причинной, а сглаживание — это пакетная обработка одной и той же задачи, а именно оценка процесса временного ряда на основе последовательных дополнительных наблюдений.

Но обычное и более распространенное сглаживание и фильтрация (в смысле 1.) не имеют такого различия, поскольку нет различия между скрытым и наблюдаемым.

Различие между сглаживанием (оценкой) и фильтрацией (оценкой):При сглаживании используются все выборки наблюдений (из будущего). Фильтрация является причинной, тогда как сглаживание представляет собой пакетную обработку заданных данных. Фильтрация — это оценка (скрытого) процесса временных рядов на основе последовательных дополнительных наблюдений.

См. также

• Проблема с фильтрацией
• Фильтр (обработка сигнала)
• Фильтр Калмана — известный алгоритм фильтрации, связанный как с проблемой фильтрации, так и с проблемой сглаживания.
• Обобщенная фильтрация
• Сглаживание