Теорема Малюса-Дюпена

Этьен-Луи Малюс

Теорема Малюса-Дюпена — теорема геометрической оптики, открытая Этьеном-Луи Малюсом в 1808 году. и разъяснено Шарлем Дюпеном в 1822 году. Гамильтон доказал это, просто применив свой метод гамильтоновой оптики .

Рассмотрим пучок световых лучей в однородной среде, перпендикулярный некоторой поверхности. Пропустите пучок лучей через произвольное количество отражений и преломлений , а затем позвольте ему появиться в какой-либо другой однородной среде. Теорема утверждает, что образующийся пучок световых лучей по-прежнему перпендикулярен какой-то другой поверхности.

Подразумеваемое

Некоторые лучевые карандаши не перпендикулярны какой-либо поверхности. Это связано с геометрией контакта .

Стандартная структура контактов на R ³ .

Например, рассмотрим стандартную структуру контакта на R ³ , которое можно понимать как поле бесконечно малых плоскостей. Теперь перпендикулярно каждой бесконечно малой плоскости нарисуйте луч света. Это дает нам «плоский скрученный» пучок световых лучей. Не существует поверхности, перпендикулярной карандашу, потому что не существует поверхности, которая могла бы касаться каждой бесконечно малой плоскости.

Предположим, что есть, затем нарисуйте бесконечно малый квадрат в плоскости xy и проследите путь вдоль поверхности. Путь не вернется к той же координате z после одного круга. Противоречие.

однолистный гиперболоид для $\varphi =63^{\circ }$

Аналогичным образом можно вложить последовательность круглых карандашей, каждый из которых образует однолистный гиперболоид. Получившийся карандаш «скрученный цилиндр» не будет перпендикулярен какой-либо поверхности.

Теорема Малюса-Дюпена подразумевает, что никакое количество отражений и преломлений не может превратить такой пучок лучей в пучок параллельных лучей, или пучок лучей, сходящихся в одной точке, или любой пучок лучей, перпендикулярных поверхности.

Конструкция и доказательство

Схема доказательства

Дан пучок лучей. Предположим, что пучок лучей вначале перпендикулярен поверхности m.

Пропустите пучок лучей через произвольную систему отражающих и преломляющих материалов. Для иллюстрации рассмотрим два луча, преломившиеся в точках А и А'; отражается в точках B и B'; и преломленные точки C и C'.

Теперь возьмите из карандаша два луча: [MABCP] и [M’A’B’C’P’]. Пусть два луча перпендикулярны m в точках M и M' соответственно.

Выберите точку P' так, чтобы [MABCP] и [M'A'B'C'P'] имели одинаковый оптический путь; тогда совокупность всех P, P' с одинаковым оптическим путем образует искривленную поверхность p.

Теорема . Поверхность p ортогональна пучку лучей.

Доказательство

Возьмите от карандаша два луча: [MABCP] и [M'A'B'C'P'], бесконечно близкие. Нарисуйте отрезки M'A и P'C.

Поскольку M'A перпендикулярно поверхности m, мы имеем [M'A] ~ [MA], таким образом,

[MABCP'] ~ [M'ABCP']

По принципу Ферма ,

[M'ABCP']～[M'A'B'C'P']

По построению [M'A'B'C'P']=[MABCP],

Вместе у нас есть

[MABCP']～[MABCP];

откуда следует, что [CP'] ~ [CP], таким образом, поверхность p перпендикулярна CP в точке P.

Симплектическое доказательство

В гамильтоновой оптике существует более концептуальное доказательство в стиле современной геометрической механики , которое происходит следующим образом:

• Постройте 4-мерное симплектическое многообразие ориентированных прямых (световых лучей).
• Если пучок световых лучей перпендикулярен поверхности, то этот пучок является лагранжевым подмногообразием , и наоборот.
• Любая преломляющая и отражающая поверхность является симплектоморфизмом на многообразии.
• Симплектоморфизмы сохраняют лагранжевы подмногообразия.