Модель Ли – Картера

Модель Ли-Картера представляет собой численный алгоритм, используемый для прогнозирования смертности и продолжительности жизни прогнозирования . ^{[ 1 ]} Входными данными для модели является матрица возрастных коэффициентов смертности, монотонно упорядоченная по времени, обычно с возрастом в столбцах и годами в строках. Выходные данные представляют собой прогнозируемую матрицу уровней смертности в том же формате, что и входные данные.

Модель использует разложение по сингулярным значениям (SVD), чтобы найти:

Одномерный ряда временного вектор $\mathbf {k} _{t}$ что отражает 80–90% тренда смертности (здесь нижний индекс $t$ относится ко времени),
Вектор $\mathbf {b} _{x}$ который описывает относительную смертность в каждом возрасте (здесь нижний индекс $x$ относится к возрасту) и
Константа масштабирования (называемая здесь $s_{1}$ но в литературе не назван).

Удивительно, $\mathbf {k} _{t}$ обычно является линейным, подразумевая, что прирост продолжительности жизни довольно постоянен из года в год в большинстве групп населения. Прежде чем рассчитывать SVD, возрастные коэффициенты смертности сначала преобразуются в $\mathbf {A} _{x,t}$ , беря их логарифмы и затем центрируя их путем вычитания их возрастных средних значений с течением времени. Возрастное среднее значение во времени обозначается $\mathbf {a} _{x}$ . Нижний индекс $x,t$ относится к тому факту, что $\mathbf {A} _{x,t}$ охватывает как возраст, так и время.

Многие исследователи корректируют $\mathbf {k} _{t}$ вектор, подгоняя его к эмпирической продолжительности жизни для каждого года, используя $\mathbf {a} _{x}$ и $\mathbf {b} _{x}$ созданный с помощью SVD. При настройке с использованием этого подхода меняется на $\mathbf {k} _{t}$ обычно небольшие.

Чтобы спрогнозировать смертность, $\mathbf {k} _{t}$ (скорректировано или нет) проецируется на $n$ будущие годы с использованием модели ARIMA . Соответствующий прогноз $\mathbf {A} _{x,t+n}$ восстанавливается умножением $\mathbf {k} _{t+n}$ к $\mathbf {b} _{x}$ и первый диагональный элемент S (когда $\mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V^{*}} ={\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t})$ ). Фактические уровни смертности восстанавливаются путем экспоненты этого вектора.

Из-за линейности $\mathbf {k} _{t}$ , обычно моделируется как случайное блуждание с тенденцией. Ожидаемая продолжительность жизни и другие показатели таблицы смертности могут быть рассчитаны на основе этой прогнозируемой матрицы после сложения средних и экспоненты, чтобы получить регулярные уровни смертности.

В большинстве реализаций доверительные интервалы для прогнозов генерируются путем моделирования множественных прогнозов смертности с использованием методов Монте-Карло . Диапазон смертности между 5% и 95% процентилей результатов моделирования считается достоверным прогнозом. Эти симуляции выполняются путем расширения $\mathbf {k} _{t}$ в будущее с использованием рандомизации на основе стандартной ошибки $\mathbf {k} _{t}$ полученные из входных данных.

Алгоритм

Алгоритм пытается найти решение уравнения методом наименьших квадратов:

\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}=\mathbf {a} _{x}+\mathbf {k} _{t}\mathbf {b} _{x}+\epsilon _{x,t}

где $\mathbf {m} _{x,t}$ представляет собой матрицу смертности для каждого возраста $x$ в каждом году $t$ .

Вычислить $\mathbf {a} _{x}$ что является средним за период времени $\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}$ для каждого возраста:
$\mathbf {a} _{x}={\frac {\sum _{t=1}^{T}{\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}}}{T}}$
Вычислить $\mathbf {A} _{x,t}$ который будет использоваться в СВД:
$\mathbf {A} _{x,t}=\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}-\mathbf {a} _{x}$
Вычислите разложение по сингулярным значениям $\mathbf {A} _{x,t}$ :
$\mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V^{*}} ={\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t})$
Вывести $\mathbf {b} _{x}$ , $s_{1}$ (масштабирующее собственное значение) и $\mathbf {k} _{t}$ от $\mathbf {U}$ , $\mathbf {S}$ , и $\mathbf {V^{*}}$ :
$\mathbf {b} _{x}=(u_{1,1},u_{2,1},...,u_{x,1})$

$\mathbf {k} _{t}=(v_{1,1},v_{1,2},...,v_{1,t})$
Прогноз $\mathbf {k} _{t}$ используя стандартную одномерную модель ARIMA для $n$ дополнительные годы:
$\mathbf {k} _{t+n}={\text{ARIMA}}(\mathbf {k} _{t},n)$
Используйте прогнозируемые $\mathbf {k} _{t+n}$ , с оригиналом $\mathbf {b} _{x}$ , и $\mathbf {a} _{x}$ для расчета прогнозируемого уровня смертности для каждого возраста:
$\mathbf {m} _{x,t+n}=\exp(\mathbf {a} _{x}+s_{1}\mathbf {k} _{t+n}\mathbf {b} _{x})$

Обсуждение

Без применения SVD или какого-либо другого метода уменьшения размерностей таблица данных о смертности представляет собой сильно коррелированный многомерный ряд данных, и сложность этих многомерных временных рядов затрудняет их прогнозирование. SVD стал широко использоваться как метод уменьшения размеров во многих различных областях, в том числе в Google в их ранжирования страниц алгоритме .

Модель Ли-Картера была представлена Рональдом Д. Ли и Лоуренсом Картером в 1992 году в статье «Моделирование и прогнозирование смертности в США». ^{[ 2 ]} Модель возникла в результате их работы в конце 1980-х и начале 1990-х годов, когда они пытались использовать обратную проекцию для определения показателей исторической демографии . ^{[ 3 ]} Модель использовалась Администрацией социального обеспечения США , Бюро переписи населения США и Организацией Объединенных Наций. Сегодня этот метод прогнозирования смертности стал наиболее широко используемым в мире. ^{[ 4 ]}

Модель Ли-Картера была расширена, в первую очередь для учета пропущенных лет, корреляции мужского и женского населения, а также крупномасштабной согласованности в популяциях, которые имеют одинаковый режим смертности (например, в Западной Европе). Многие соответствующие статьи можно найти на веб-сайте профессора Рональда Ли .

Реализации

Существует на удивление мало программных пакетов для прогнозирования с использованием модели Ли-Картера.

LCFIT — это веб-пакет с интерактивными формами.
Профессор Роб Дж. Хайндман предоставляет пакет R для демографии , который включает процедуры для создания и прогнозирования модели Ли-Картера.
Альтернативы в R включают пакет StMoMo Виллегаса, Миллоссовича и Кайшева (2015).
Профессор Герман Родригес предоставляет код для модели Ли-Картера, используя Stata .
Используя Matlab , профессор Эрик Жондо и профессор Майкл Рокинджер собрали набор инструментов Longevity Toolbox для оценки параметров.

Ссылки

^ «Метод Ли-Картера для прогнозирования смертности с различными расширениями и приложениями | SOA» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2019 года . Проверено 28 сентября 2010 г.
^ Ли, Рональд Д.; Картер, Лоуренс Р. (сентябрь 1992 г.). «Моделирование и прогнозирование смертности в США». Журнал Американской статистической ассоциации . 87 (419): 659–671. дои : 10.2307/2290201 .
^ Ли, Рональд (5 июня 2003 г.). «Размышления об обратной проекции: ее происхождение, развитие, расширение и связь с прогнозированием» .
^ Федерико Джирози; Гэри Кинг. «Понимание метода прогнозирования смертности Ли-Картера» (PDF) . Гарвардский университет . Проверено 12 апреля 2023 г.

[1] «Метод Ли-Картера для прогнозирования смертности с различными расширениями и приложениями | SOA» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2019 года . Проверено 28 сентября 2010 г.

[2] Ли, Рональд Д.; Картер, Лоуренс Р. (сентябрь 1992 г.). «Моделирование и прогнозирование смертности в США». Журнал Американской статистической ассоциации . 87 (419): 659–671. дои : 10.2307/2290201 .

[3] Ли, Рональд (5 июня 2003 г.). «Размышления об обратной проекции: ее происхождение, развитие, расширение и связь с прогнозированием» .

[4] Федерико Джирози; Гэри Кинг. «Понимание метода прогнозирования смертности Ли-Картера» (PDF) . Гарвардский университет . Проверено 12 апреля 2023 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]