Нумерация Островского

В математике нумерация Островского , названная в честь Александра Островского , представляет собой одну из двух родственных систем счисления, основанных на цепных дробях : нестандартную позиционную систему счисления для целых чисел и нецелочисленное представление действительных чисел .

Зафиксируйте положительное иррациональное число α с разложением в непрерывную дробь [ a ₀ ; а ₁ , а ₂ , ...]. Пусть ( q _n ) будет последовательностью знаменателей подходящих p _n / q _n к α: так что q _n = a _n q _{n −1} + q _{n −2} . Пусть α _n обозначает T ^н ( α ), где T — отображение Гаусса T ( x ) = {1/ x }, и напишите β _n = (−1) ^{п +1} α ₀ α ₁ ... α _n : у нас β _n знак равно а _п β _{п -1} + β _{п -2} .

Представления действительных чисел

Каждый положительный действительный x можно записать как

$x=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\beta _{n}\$

где целые коэффициенты 0 ≤ b _n ≤ a _n , и если b _n = a _n, то b _{n −1} = 0.

Целочисленные представления

Каждое положительное целое число N можно однозначно записать как

$N=\sum _{n=1}^{k}b_{n}q_{n}\$

где целые коэффициенты 0 ≤ b _n ≤ a _n , и если b _n = a _n, то b _{n −1} = 0.

Если α — золотое сечение , то все частные частные a _n равны 1, знаменатели q _n — это числа Фибоначчи , и мы восстанавливаем теорему Цекендорфа о представлении Фибоначчи положительных целых чисел в виде суммы различных непоследовательных чисел Фибоначчи.

См. также

• Полная последовательность

Ссылки

• Аллуш, Жан-Поль; Шалит, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-82332-6 . Збл   1086.11015 . .
• Эпифанио, К.; Фруни, К.; Габриэле, А.; Миньози, Ф.; Шалит, Дж. (2012). «Графы Штурма и целочисленные представления в системах счисления» . Дискретное приложение. Математика . 160 (4–5): 536–547. дои : 10.1016/j.dam.2011.10.029 . ISSN   0166-218X . Збл   1237.68134 .
• Островский, Александр (1921). «Замечания по теории диофантовых приближений». Хамб. Деп. (на немецком языке). 1 :77–98. ЖФМ   48.0197.04 .
• Пифей Фогг, Н. (2002). Берте, Валери ; Ференци, Себастьен; Модуит, Кристиан; Сигел, Энн (ред.). Замены в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. Том. 1794. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-44141-7 . Збл   1014.11015 .