Цилиндрические гармоники

В математике цилиндрические гармоники представляют собой набор линейно независимых функций, которые являются решениями дифференциального уравнения Лапласа . $\nabla ^{2}V=0$, выраженный в цилиндрических координатах , ρ (радиальная координата), φ (полярный угол) и z (высота). Каждая функция V _n ( k ) представляет собой произведение трёх слагаемых, каждое из которых зависит только от одной координаты. Член , зависящий от ρ , задается функциями Бесселя (которые иногда также называют цилиндрическими гармониками).

Определение

Каждая функция $V_{n}(k)$ Этот базис состоит из произведения трех функций: $$V_{n}(k;\rho ,\varphi ,z)=P_{n}(k,\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z(k,z)\,$$где $(\rho ,\varphi ,z)$ — цилиндрические координаты, а также константы n и k , которые различают члены набора. В результате применения принципа суперпозиции к уравнению Лапласа очень общие решения уравнения Лапласа могут быть получены линейными комбинациями этих функций.

Поскольку все поверхности с постоянными ρ, φ и z являются коническими, уравнение Лапласа разделимо в цилиндрических координатах. Используя технику разделения переменных , разделенное решение уравнения Лапласа можно выразить как: $$V=P(\rho )\,\Phi (\varphi )\,Z(z)$$и уравнение Лапласа, разделенное на V , записывается: $${\frac {\ddot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\dot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\,{\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0$$

Z - часть уравнения является функцией только z и поэтому должна быть равна константе: $${\frac {\ddot {Z}}{Z}}=k^{2}$$где k , вообще говоря, комплексное число . Для конкретного k функция Z ( z ) имеет два линейно независимых решения. Если k действительно, они: $$Z(k,z)=\cosh(kz)\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sinh(kz)\,$$или по их поведению на бесконечности: $$Z(k,z)=e^{kz}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-kz}\,$$

Если k мнимое: $$Z(k,z)=\cos(|k|z)\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sin(|k|z)\,$$или: $$Z(k,z)=e^{i|k|z}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-i|k|z}\,$$

Можно видеть, что функции Z ( k , z ) являются ядрами преобразования Фурье или преобразования Лапласа функции Z ( z ), и поэтому k может быть дискретной переменной для периодических граничных условий или может быть непрерывной переменной. для непериодических граничных условий.

Замена $k^{2}$ для ${\ddot {Z}}/Z$ , уравнение Лапласа теперь можно записать: $${\frac {\ddot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\dot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}+k^{2}=0$$

Умножение на $\rho ^{2}$, теперь мы можем разделить функции P и Φ и ввести еще одну константу ( n ), чтобы получить: $${\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}=-n^{2}$$$$\rho ^{2}{\frac {\ddot {P}}{P}}+\rho {\frac {\dot {P}}{P}}+k^{2}\rho ^{2}=n^{2}$$

С $\varphi$ является периодическим, мы можем принять n за неотрицательное целое число и, соответственно, $\Phi (\varphi )$ константы имеют индексы. Реальные решения для $\Phi (\varphi )$ являются $$\Phi _{n}=\cos(n\varphi )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sin(n\varphi )$$или, что то же самое: $$\Phi _{n}=e^{in\varphi }\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-in\varphi }$$

Дифференциальное уравнение для $\rho$ является формой уравнения Бесселя.

Если k равно нулю, а n нет, решения следующие: $$P_{n}(0,\rho )=\rho ^{n}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\rho ^{-n}\,$$

Если оба k и n равны нулю, решения следующие: $$P_{0}(0,\rho )=\ln \rho \,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,1\,$$

Если k — действительное число, мы можем записать действительное решение как: $$P_{n}(k,\rho )=J_{n}(k\rho )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,Y_{n}(k\rho )\,$$где $J_{n}(z)$ и $Y_{n}(z)$ являются обычными функциями Бесселя .

Если k — мнимое число, мы можем записать действительное решение как: $$P_{n}(k,\rho )=I_{n}(|k|\rho )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,K_{n}(|k|\rho )\,$$где $I_{n}(z)$ и $K_{n}(z)$ являются модифицированными функциями Бесселя .

Цилиндрические гармоники для (k,n) теперь являются продуктом этих решений, а общее решение уравнения Лапласа дается линейной комбинацией этих решений: $$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n}\int d\left|k\right|\,\,A_{n}(k)P_{n}(k,\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z(k,z)\,$$где $A_{n}(k)$ являются константами относительно цилиндрических координат, а пределы суммирования и интегрирования определяются граничными условиями задачи. Обратите внимание, что интеграл можно заменить суммой при соответствующих граничных условиях. Ортогональность $J_{n}(x)$ часто бывает очень полезен при поиске решения конкретной проблемы. $\Phi _{n}(\varphi )$ и $Z(k,z)$ функции по существу являются разложениями Фурье или Лапласа и образуют набор ортогональных функций. Когда $P_{n}(k\rho )$ это просто $J_{n}(k\rho )$ , ортогональность $J_{n}$, а также отношения ортогональности $\Phi _{n}(\varphi )$ и $Z(k,z)$ позволяют определить константы.

Если $(x)_{k}$ представляет собой последовательность положительных нулей $J_{n}$ затем: $$\int _{0}^{1}J_{n}(x_{k}\rho )J_{n}(x_{k}'\rho )\rho \,d\rho ={\frac {1}{2}}J_{n+1}(x_{k})^{2}\delta _{kk'}$$

При решении задач пространство можно разделить на любое количество частей, при условии, что значения потенциала и его производной совпадают на границе, не содержащей источников.

Пример: точечный источник внутри проводящей цилиндрической трубки.

В качестве примера рассмотрим задачу определения потенциала единичного источника, расположенного в $(\rho _{0},\varphi _{0},z_{0})$ внутри проводящей цилиндрической трубки (например, пустой консервной банки), ограниченной сверху и снизу плоскостями $z=-L$ и $z=L$ и по бокам у цилиндра $\rho =a$. (В единицах MKS мы будем считать $q/4\pi \epsilon _{0}=1$). Поскольку потенциал ограничен плоскостями на оси z , функцию Z(k,z) можно считать периодической. Поскольку в начале координат потенциал должен быть равен нулю, возьмем $P_{n}(k\rho )$ функция будет обычной функцией Бесселя $J_{n}(k\rho )$, и его необходимо выбрать так, чтобы один из его нулей попадал на ограничивающий цилиндр. Для точки измерения ниже точки источника на оси z потенциал будет равен:

$$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{nr}(L+z))\,\,\,\,\,z\leq z_{0}$$где $k_{nr}a$ является r -м нулем числа $J_{n}(z)$ и из соотношений ортогональности для каждой из функций: $$A_{nr}={\frac {4(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{nr}(L-z_{0})}{\sinh 2k_{nr}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a)]^{2}}}\,$$

Над исходной точкой: $$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{nr}(L-z))\,\,\,\,\,z\geq z_{0}$$$$A_{nr}={\frac {4(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{nr}(L+z_{0})}{\sinh 2k_{nr}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a)]^{2}}}.\,$$

Понятно, что когда $\rho =a$ или $|z|=L$, вышеуказанная функция равна нулю. Также можно легко показать, что две функции совпадают по значению и значению своих первых производных в точке $z=z_{0}$.

Точечный источник внутри цилиндра

Удаление концов плоскости (т.е. переход к пределу при приближении L к бесконечности) дает поле точечного источника внутри проводящего цилиндра: $$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{-k_{nr}|z-z_{0}|}$$$$A_{nr}={\frac {2(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a)]^{2}}}.\,$$

Точечный источник в открытом космосе

Когда радиус цилиндра ( a ) приближается к бесконечности, сумма по нулям J _n ( z ) становится целым, и мы имеем поле точечного источника в бесконечном пространстве: $$V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{R}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }d\left|k\right|\,A_{n}(k)J_{n}(k\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{-k|z-z_{0}|}$$$$A_{n}(k)=(2-\delta _{n0})J_{n}(k\rho _{0})\,$$R — расстояние от точечного источника до точки измерения: $$R={\sqrt {(z-z_{0})^{2}+\rho ^{2}+\rho _{0}^{2}-2\rho \rho _{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}.\,$$

Точечный источник в открытом космосе в начале координат

Наконец, когда точечный источник находится в начале координат, $\rho _{0}=z_{0}=0$$$V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}=\int _{0}^{\infty }J_{0}(k\rho )e^{-k|z|}\,dk.$$

См. также

• Сферические гармоники

Ссылки

• Смайт, Уильям Р. (1968). Статическое и динамическое электричество (3-е изд.). МакГроу-Хилл .
• Гильопе, Лоран (2010). «Гильбертовы пространства и специальные функции» (PDF) (на французском языке).