Неизбежный рисунок

В математике и теоретической информатике шаблон является неизбежной шаблоном, если он неизбежен на любом конечном алфавите.

Определения

Шаблон

Как и слово, шаблон (также называемый термином ) представляет собой последовательность символов над некоторым алфавитом .

Минимальная множественность шаблона $p$ является $m(p)=\min(\mathrm {count_{p}} (x):x\in p)$ где $\mathrm {count_{p}} (x)$ это количество появления символа $x$ в шаблоне $p$ Полем Другими словами, это количество случаев в $p$ наименее часто встречающийся символ в $p$ .

Пример

Даны конечные алфавиты $\Sigma$ и $\Delta$ , слово $x\in \Sigma ^{*}$ это экземпляр схемы $p\in \Delta ^{*}$ Если существует неэразирующая полугруппа морфизм $f:\Delta ^{*}\rightarrow \Sigma ^{*}$ так что $f(p)=x$ , где $\Sigma ^{*}$ обозначает Kleene звезду $\Sigma$ Полем Неэразирование означает, что $f(a)\neq \varepsilon$ для всех $a\in \Delta$ , где $\varepsilon$ обозначает пустую строку .

Избегание / соответствие

Слово $w$ Говорят соответствует или встречаю , что $p$ Если фактор (также называемый подвесом или подстроением ) $w$ это случай $p$ Полем В противном случае, $w$ Говорят, чтобы избежать $p$ , или быть $p$ -бесплатно. Это определение может быть обобщено в случае бесконечного $w$ , на основе обобщенного определения «подстроения».

Избегаемость / неизбежность в конкретном алфавите

Шаблон $p$ неизбежно на конечном алфавите $\Sigma$ Если каждое достаточно длинное слово $x\in \Sigma ^{*}$ должен соответствовать $p$ ; формально: если $\exists n\in \mathrm {N} .\ \forall x\in \Sigma ^{*}.\ (|x|\geq n\implies x{\text{ matches }}p)$ Полем В противном случае, $p$ можно избежать $\Sigma$ , что подразумевает, что существует бесконечно много слов над алфавитом $\Sigma$ это избегает $p$ .

Леммой Кеснига , узор $p$ можно избежать $\Sigma$ Если и только если существует бесконечное слово $w\in \Sigma ^{\omega }$ это избегает $p$ . ^{[ 1 ]}

Максимальное слово

Учитывая шаблон $p$ и алфавит $\Sigma$ Полем А $p$ -free word $w\in \Sigma ^{*}$ максимально $p$ -Провое слово над $\Sigma$ если $aw$ и $wa$ соответствовать $p$ $\forall a\in \Sigma$ .

Избегаемый / неизбежный рисунок

Шаблон $p$ является неизбежным рисунком (также называемым блокирующим термином ), если $p$ неизбежно на любом конечном алфавите.

Если шаблон неизбежна и не ограничивается определенным алфавитом, то по умолчанию он неизбежен для любого конечного алфавита. И наоборот, если считается, что шаблон можно избежать и не ограничивается определенным алфавитом, то по умолчанию его можно избежать на некотором конечном алфавите.

k -vaiodable / k -unavoidable

Шаблон $p$ является $k$ -Вообежаемая IF $p$ можно избежать на алфавите $\Sigma$ размера $k$ Полем В противном случае, $p$ является $k$ -Невоиз, что означает $p$ неизбежно на каждом алфавите размера $k$ . ^{[ 2 ]}

Если образец $p$ является $k$ -Довидно, тогда $p$ является $g$ -Вооответствует для всех $g\geq k$ .

Учитывая конечный набор моделей, которые можно избежать $S=\{p_{1},p_{2},...,p_{i}\}$ , существует бесконечное слово $w\in \Sigma ^{\omega }$ так что $w$ избегает всех моделей $S$ . ^{[ 1 ]} Позволять $\mu (S)$ Обозначите размер минимального алфавита $\Sigma '$ так что $\exists w'\in {\Sigma '}^{\omega }$ избегая всех моделей $S$ .

Индекс избегаемости

Индекс избегаемости шаблона $p$ это самый маленький $k$ так что $p$ является $k$ -Воознается и $\infty$ если $p$ неизбежно. ^{[ 1 ]}

Характеристики

Шаблон $q$ можно избежать, если $q$ является экземпляром схемы, которого можно избежать $p$ . ^{[ 3 ]}
Пусть можно избежать шаблона $p$ быть фактором схемы $q$ , затем $q$ также можно избежать. ^{[ 3 ]}
Шаблон $q$ неизбежно тогда и только тогда $q$ является фактором какой -то неизбежного рисунка $p$ .
Учитывая неизбежную картину $p$ и символ $a$ не в $p$ , затем $pap$ неизбежно. ^{[ 3 ]}
Учитывая неизбежную картину $p$ , затем изменение $p^{R}$ неизбежно.
Учитывая неизбежную картину $p$ , существует символ $a$ так что $a$ происходит ровно один раз в $p$ . ^{[ 3 ]}
Позволять $n\in \mathrm {N}$ представляют количество отдельных символов шаблона $p$ Полем Если $|p|\geq 2^{n}$ , затем $p$ можно избежать. ^{[ 3 ]}

Зимин слова

Данный алфавит $\Delta =\{x_{1},x_{2},...\}$ Zimin Words (шаблоны) определены рекурсивно $Z_{n+1}=Z_{n}x_{n+1}Z_{n}$ для $n\in \mathrm {Z} ^{+}$ и $Z_{1}=x_{1}$ .

Неизбежность

Все слова Zimin неизбежны. ^{[ 4 ]}

Слово $w$ неизбежно тогда и только тогда, когда это фактор слова зимина. ^{[ 4 ]}

Учитывая конечный алфавит $\Sigma$ , позволять $f(n,|\Sigma |)$ представляют самое маленькое $m\in \mathrm {Z} ^{+}$ так что $w$ матчи $Z_{n}$ для всех $w\in \Sigma ^{m}$ Полем У нас есть следующие свойства: ^{[ 5 ]}

$f(1,q)=1$
$f(2,q)=2q+1$
$f(3,2)=29$
$f(n,q)\leq {^{n-1}q}=\underbrace {q^{q^{\cdot ^{\cdot ^{q}}}}} _{n-1}$

$Z_{n}$ это самый длинный неизбежный паттерн, построенный алфавитом $\Delta =\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ с $|Z_{n}|=2^{n}-1$ .

Сокращение шаблона

Бесплатное письмо

Учитывая шаблон $p$ над некоторым алфавитом $\Delta$ , мы говорим $x\in \Delta$ бесплатно для $p$ Если существуют подмножества $A,B$ из $\Delta$ так, чтобы следующее удержание:

$uv$ является фактором $p$ и $u\in A$ ↔ $uv$ является фактором $p$ и $v\in B$
$x\in A\backslash B\cup B\backslash A$

Например, пусть $p=abcbab$ , затем $b$ бесплатно для $p$ Так как существуют $A=ac,B=b$ Удовлетворение условий выше.

Уменьшать

Шаблон $p\in \Delta ^{*}$ сводит к рисунку $q$ Если существует символ $x\in \Delta$ так что $x$ бесплатно для $p$ , и $q$ можно получить путем удаления всего появления $x$ от $p$ Полем Обозначать это отношение $p{\stackrel {x}{\rightarrow }}q$ .

Например, пусть $p=abcbab$ , затем $p$ может уменьшить $q=aca$ с $b$ бесплатно для $p$ .

Заперт

Слово $w$ Говорят, что он заперт, если $w$ нет свободного письма; следовательно $w$ не может быть уменьшено. ^{[ 6 ]}

Транзитивность

Заданные закономерности $p,q,r$ , если $p$ уменьшается до $q$ и $q$ уменьшается до $r$ , затем $p$ уменьшается до $r$ Полем Обозначать это отношение $p{\stackrel {*}{\rightarrow }}r$ .

Неизбежность

Шаблон $p$ неизбежно тогда и только тогда $p$ сводится к слову длины один; следовательно $\exists w$ так что $|w|=1$ и $p{\stackrel {*}{\rightarrow }}w$ . ^{[ 7 ]}^{[ 4 ]}

Отставление графика ^{[ 8 ]}

Избегание / сопоставление на определенном графике

Учитывая простой график $G=(V,E)$ , края раскраски $c:E\rightarrow \Delta$ соответствует шаблону $p$ Если существует простой путь $P=[e_{1},e_{2},...,e_{r}]$ в $G$ так что последовательность $c(P)=[c(e_{1}),c(e_{2}),...,c(e_{r})]$ матчи $p$ Полем В противном случае, $c$ Говорят, чтобы избежать $p$ или быть $p$ -бесплатно.

Точно так же раскраска вершины $c:V\rightarrow \Delta$ соответствует шаблону $p$ Если существует простой путь $P=[c_{1},c_{2},...,c_{r}]$ в $G$ так что последовательность $c(P)$ матчи $p$ .

Шаблон хроматического числа

Хроматическое число рисунков $\pi _{p}(G)$ минимальное количество отдельных цветов, необходимых для $p$ -Бесплатная вершина раскраски $c$ над графиком $G$ .

Позволять $\pi _{p}(n)=\max\{\pi _{p}(G):G\in G_{n}\}$ где $G_{n}$ Является ли набор всех простых графиков с максимальной степенью не более, чем $n$ .

Сходным образом, $\pi _{p}'(G)$ и $\pi _{p}'(n)$ определены для краевых раскрасок.

Избегаемость / неизбежность на графиках

Шаблон $p$ можно избежать на графиках, если $\pi _{p}(n)$ ограничен $c_{p}$ , где $c_{p}$ зависит только от $p$ .

Избегание слов может быть выражено как конкретный случай избегания на графиках; Отсюда и образец $p$ можно избежать на любом конечном алфавите тогда и только тогда, когда $\pi _{p}(P_{n})\leq c_{p}$ для всех $n\in \mathrm {Z} ^{+}$ , где $P_{n}$ это график $n$ Вершины объединяются.

Вероятностная граница на $π$ _p (n)

Существует абсолютная постоянная $c$ , так что $\pi _{p}(n)\leq cn^{\frac {m(p)}{m(p)-1}}\leq cn^{2}$ для всех моделей $p$ с $m(p)\geq 2$ . ^{[ 8 ]}

Учитывая шаблон $p$ , позволять $n$ представляют количество отдельных символов $p$ Полем Если $|p|\geq 2^{n}$ , затем $p$ можно избежать на графиках.

Явные раскраски

Учитывая шаблон $p$ так что $count_{p}(x)$ даже для всех $x\in p$ , затем $\pi _{p}'(K_{2}^{k})\leq 2^{k}-1$ для всех $k\geq 1$ , где $K_{n}$ это полный график $n$ Вершины. ^{[ 8 ]}

Учитывая шаблон $p$ так что $m(p)\geq 2$ и произвольное дерево $T$ , позволять $S$ быть набором всех подчиненных, которые можно избежать, и их отражения $p$ Полем Затем $\pi _{p}(T)\leq 3\mu (S)$ . ^{[ 8 ]}

Учитывая шаблон $p$ так что $m(p)\geq 2$ и дерево $T$ со степенью $n\geq 2$ Полем Позволять $S$ быть набором всех подчиненных, которые можно избежать, и их отражения $p$ , затем $\pi _{p}'(T)\leq 2(n-1)\mu (S)$ . ^{[ 8 ]}

Примеры

Последовательность борьбы- без куба без куба и без перекрытия; Следовательно, это избегает закономерности $xxx$ и $xyxyx$ . ^{[ 2 ]}
Слово без квадратов -это один из них, избегая шаблона $xx$ Полем Слово над алфавитом $\{0,\pm 1\}$ Полученная путем первого разница последовательности Thue-Morse является примером бесконечного без квадратного слова. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}
Шаблоны $x$ и $xyx$ неизбежны на любом алфавите, так как они являются факторами слов зимина. ^{[ 11 ]}^{[ 1 ]}
Мощные узоры $x^{n}$ для $n\geq 3$ 2-извещаются. ^{[ 1 ]}
Все бинарные шаблоны можно разделить на три категории: ^{[ 1 ]}
- $\varepsilon ,x,xyx$ неизбежны.
- $xx,xxy,xyy,xxyx,xxyy,xyxx,xyxy,xyyx,xxyxx,xxyxy,xyxyy$ Иметь индекс избегаемости 3.
- Другие имеют индекс избегаемости 2.
$abwbaxbcyaczca$ Имеет индекс избегаемости 4, а также другие заблокированные слова. ^{[ 6 ]}
$abvacwbaxbcycdazdcd$ Имеет индекс избегаемости 5. ^{[ 12 ]}
Повторяющийся порог $RT(n)$ это инфимум экспонентов $k$ так что $x^{k}$ можно избежать на алфавите размера $n$ Полем Также см. Теорему Дежана .

Открытые проблемы

Есть ли схема, которую можно избежать $p$ так что индекс избегаемости $p$ 6?
Учитывая произвольно шаблон $p$ , есть ли алгоритм для определения индекса избегаемости $p$ ? ^{[ 1 ]}

Ссылки

^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин Lothaire, M. (2002). Алгебраическая комбинаторика на словах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521812207 .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Комбинаторика по словам: Кристоффельские слова и повторения в словах . Американская математическая соц. п. 127. ISBN 978-0-8218-7325-0 .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и Шмидт, Урсула (1987-08-01). «Длинные неизбежные закономерности». Acta Informatica . 24 (4): 433–445. doi : 10.1007/bf00292112 . ISSN 1432-0525 . S2CID 7928450 .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в Зимин, ИИ (1984). «Блокирующие наборы терминов». Математика СССР-Сонбика . 47 (2): 353–364. Bibcode : 1984sbmat..47..353z . doi : 10.1070/sm1984v047n02abeh002647 . ISSN 0025-5734 .
^ Джошуа, Купер; Rorabaugh, Danny (2013). Ограничения на Zimin Word избегают . Arxiv : 1409.3080 . BIBCODE : 2014ARXIV1409.3080C .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Бейкер, Кирби А.; Макналти, Джордж Ф.; Тейлор, Уолтер (1989-12-18). «Проблемы роста для слов, которые можно избежать» . Теоретическая информатика . 69 (3): 319–345. doi : 10.1016/0304-3975 (89) 90071-6 . ISSN 0304-3975 .
^ Бин, Дуайт Р.; Ehrenfeucht, Andrzej; Макналти, Джордж Ф. (1979). «Избегаемые шаблоны в струнах символов» . Тихоокеанский журнал по математике . 85 (2): 261–294. doi : 10.2140/pjm.1979.85.261 . ISSN 0030-8730 .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и Grytczuk, Jaroslaw (2007-05-28). «Избегание рисунков на графиках» . Дискретная математика . Четвертая конференция Caracow по теории графика. 307 (11): 1341–1346. doi : 10.1016/j.disc.2005.11.071 . ISSN 0012-365X .
^ Комбинаторика по словам: Кристоффельские слова и повторения в словах . Американская математическая соц. п. 97. ISBN 978-0-8218-7325-0 .
^ Fogg, N. Pytheas (2002-09-23). Замена в динамике, арифметике и комбинаторике . Springer Science & Business Media. п. 104. ISBN 978-3-540-44141-0 .
^ Аллуш, Жан-Поль; Шайт, Джеффри; Шайт, профессор Джеффри (2003-07-21). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета. п. 24. ISBN 978-0-521-82332-6 .
^ Кларк, Рональд Дж. (2006-04-01). «Существование шаблона, которая является 5-х избегабельным, но 4-х невиданным». Международный журнал алгебры и вычислений . 16 (2): 351–367. doi : 10.1142/s0218196706002950 . ISSN 0218-1967 .

Аллуш, Жан-Поль; Шайт, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-82332-6 Полем ZBL 1086.11015 .
Берстел, Джин; Лаув, Аарон; Рейтенауэр, Кристоф; Салиола, Франко В. (2009). Комбинаторика на словах. Кристоффель слова и повторения в словах . Серия монографий CRM. Тол. 27. Провиденс, RI: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4480-9 Полем ZBL 1161.68043 .
Lothaire, M. (2011). Алгебраическая комбинаторика на словах . Энциклопедия математики и ее применения. Тол. 90. С ПРЕДИСЛОВИМОМ Джин Берстел и Доминика Перрина (Перепечатка жесткого переплета 2002 года изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-18071-9 Полем Obl 1221.68183 .
Pytheas Fogg, n. Бертоутс, Валери ; Ференци, серьезно; Маудуит, христианин; Печать, А. (ред.). Замена в динамике, арифметике и комбинаторике . Заметки лекции по математике. Тол. 1794. Берлин: Springr-Publisher . ISBN 3-540-44141-7 Полем ZBL 1014.11015 .

[Lothaire2001-1] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин Lothaire, M. (2002). Алгебраическая комбинаторика на словах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521812207 .

[:5-2] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Комбинаторика по словам: Кристоффельские слова и повторения в словах . Американская математическая соц. п. 127. ISBN 978-0-8218-7325-0 .

[:1-3] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и Шмидт, Урсула (1987-08-01). «Длинные неизбежные закономерности». Acta Informatica . 24 (4): 433–445. doi : 10.1007/bf00292112 . ISSN 1432-0525 . S2CID 7928450 .

[:0-4] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в Зимин, ИИ (1984). «Блокирующие наборы терминов». Математика СССР-Сонбика . 47 (2): 353–364. Bibcode : 1984sbmat..47..353z . doi : 10.1070/sm1984v047n02abeh002647 . ISSN 0025-5734 .

[5] Джошуа, Купер; Rorabaugh, Danny (2013). Ограничения на Zimin Word избегают . Arxiv : 1409.3080 . BIBCODE : 2014ARXIV1409.3080C .

[:3-6] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Бейкер, Кирби А.; Макналти, Джордж Ф.; Тейлор, Уолтер (1989-12-18). «Проблемы роста для слов, которые можно избежать» . Теоретическая информатика . 69 (3): 319–345. doi : 10.1016/0304-3975 (89) 90071-6 . ISSN 0304-3975 .

[7] Бин, Дуайт Р.; Ehrenfeucht, Andrzej; Макналти, Джордж Ф. (1979). «Избегаемые шаблоны в струнах символов» . Тихоокеанский журнал по математике . 85 (2): 261–294. doi : 10.2140/pjm.1979.85.261 . ISSN 0030-8730 .

[:4-8] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и Grytczuk, Jaroslaw (2007-05-28). «Избегание рисунков на графиках» . Дискретная математика . Четвертая конференция Caracow по теории графика. 307 (11): 1341–1346. doi : 10.1016/j.disc.2005.11.071 . ISSN 0012-365X .

[9] Комбинаторика по словам: Кристоффельские слова и повторения в словах . Американская математическая соц. п. 97. ISBN 978-0-8218-7325-0 .

[10] Fogg, N. Pytheas (2002-09-23). Замена в динамике, арифметике и комбинаторике . Springer Science & Business Media. п. 104. ISBN 978-3-540-44141-0 .

[11] Аллуш, Жан-Поль; Шайт, Джеффри; Шайт, профессор Джеффри (2003-07-21). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета. п. 24. ISBN 978-0-521-82332-6 .

[12] Кларк, Рональд Дж. (2006-04-01). «Существование шаблона, которая является 5-х избегабельным, но 4-х невиданным». Международный журнал алгебры и вычислений . 16 (2): 351–367. doi : 10.1142/s0218196706002950 . ISSN 0218-1967 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

Определения

Шаблон

Пример

Избегание / соответствие

Избегаемость / неизбежность в конкретном алфавите

Максимальное слово ​

Избегаемый / неизбежный рисунок

k -vaiodable / k -unavoidable

Индекс избегаемости

Характеристики

Зимин слова

Неизбежность

Сокращение шаблона

Бесплатное письмо

Уменьшать

Заперт

Транзитивность

Неизбежность

Отставление графика [ 8 ]

Избегание / сопоставление на определенном графике

Шаблон хроматического числа

Избегаемость / неизбежность на графиках

Вероятностная граница на π p (n)

Явные раскраски

Примеры

Открытые проблемы

Ссылки

Максимальное слово

Отставление графика ^{[ 8 ]}

Вероятностная граница на $π$ _p (n)