Уравнение Сауэрбри

было Уравнение Сауэрбри разработано немецким Гюнтером Сауэрбри в 1959 году, работая над докторской диссертацией в Ttechnische Universität Berlin , Германия. Это метод корреляции изменений в частоте колебаний пьезоэлектрического кристалла с массой на нем. Он одновременно разработал метод измерения характерной частоты и ее изменений, используя кристалл в качестве частоты, определяющий компонент цепи осциллятора. Его метод по -прежнему используется в качестве основного инструмента в экспериментах по микробалансу Quartz Crystal (QCM) для преобразования частоты в массу и действителен практически во всех приложениях.

Уравнение получается путем обработки осажденной массы, как будто оно было расширением толщины базового кварца. Из -за этого корреляция массы к частоте (как определено уравнением Сауэрбри) в значительной степени не зависит от геометрии электродов. Это имеет преимущество в разрешении массового определения без калибровки, что делает настройку желательной с точки зрения затрат и инвестиций.

Уравнение Sauerbrey определяется как:

$\Delta f=-{\frac {2f_{0}^{2}}{A{\sqrt {\rho _{q}\mu _{q}}}}}\Delta m$

где:

$f_{0}$ - Резонансная частота фундаментального режима (Гц)

$\Delta f$ – normalized frequency change (Hz)

$\Delta m$ – Mass change (g)

$A$ – Piezoelectrically active crystal area (Area between electrodes, cm²)

$\rho _{q}$ – Density of quartz ($\rho _{q}$ = 2.648 g/cm³)

$\mu _{q}$ – Shear modulus of quartz for AT-cut crystal ($\mu _{q}$ = 2.947x10¹¹ g·cm⁻¹·s⁻²)

The normalized frequency $\Delta f$ is the nominal frequency shift of that mode divided by its mode number (most software outputs normalized frequency shift by default). Because the film is treated as an extension of thickness, Sauerbrey’s equation only applies to systems in which the following three conditions are met: the deposited mass must be rigid, the deposited mass must be distributed evenly and the frequency change $\Delta f/f$ < 0.05.

If the change in frequency is greater than 5%, that is, $\Delta f/f$ > 0.05, the Z-match method must be used to determine the change in mass. The formula for the Z-match method is:

${\frac {\Delta m}{A}}\ ={\frac {N_{q}\rho _{q}}{\pi Zf_{L}}}\tan ^{-1}\left[Z\tan \left(\pi {\frac {f_{U}-f_{L}}{f_{U}}}\right)\right]$

Equation 2 – Z-match method

$f_{L}$ – Frequency of loaded crystal (Hz)

$f_{U}$ – Frequency of unloaded crystal, i.e. Resonant frequency (Hz)

$N_{q}$ – Frequency constant for AT-cut quartz crystal (1.668x10¹³Hz·Å)

$\Delta m$ – Mass change (g)

$A$ – Piezoelectrically active crystal area (Area between electrodes, cm²)

$\rho _{q}$ – Density of quartz ($\rho _{q}$ = 2.648 g/cm³)

$Z$ – Z-Factor of film material $={\sqrt {\left({\frac {\rho _{q}\mu _{q}}{\rho _{f}\mu _{f}}}\ \right)}}$

$\rho _{f}$ – Density of the film (Varies: units are g/cm³)

$\mu _{q}$ – Shear modulus of quartz ($\mu _{q}$ = 2.947x10¹¹ g·cm⁻¹·s⁻²)

$\mu _{f}$ – Shear modulus of film (Varies: units are g·cm⁻¹·s⁻²)

Limitations

The Sauerbrey equation was developed for oscillation in air and only applies to rigid masses attached to the crystal. It has been shown that quartz crystal microbalance measurements can be performed in liquid, in which case a viscosity related decrease in the resonant frequency will be observed:

$\Delta f={-\ f_{0}^{3/2}(\eta _{l}\rho _{l}/\pi \rho _{q}\mu _{q}n)^{1/2}}$

where $\rho _{l}$ is the density of the liquid, $\eta _{l}$ is the viscosity of the liquid, and $n$ is the mode number.