Расстояние сопротивления

В теории графов расстояние сопротивления между двумя вершинами G простого , построенной так , связного графа равно $G$ сопротивлению между двумя эквивалентными точками электрической сети соответствовать $чтобы$ каждое ребро заменяется сопротивлением , при этом один ом . Это метрика на графиках .

Определение

На графе $G$ расстояние сопротивления $Ω i, j$ двумя вершинами $vi равно$ и $v j$ между ^[1]

\Omega _{i,j}:=\Gamma _{i,i}+\Gamma _{j,j}-\Gamma _{i,j}-\Gamma _{j,i},

где

\Gamma =\left(L+{\frac {1}{|V|}}\Phi \right)^{+},

с $+$ обозначает Мура-Пенроуза , $L$ матрицу Лапласа G $обратную матрицу$ , $| В |$ — количество вершин в $G$ , а $Φ$ — $| В | \times | В |$ матрица, содержащая все единицы.

Свойства расстояния сопротивления

Если $я = j,$ то $Ω i, j = 0$ . Для неориентированного графа

\Omega _{i,j}=\Omega _{j,i}=\Gamma _{i,i}+\Gamma _{j,j}-2\Gamma _{i,j}

Общее правило сумм

Для любого $N$ -вершинного простого связного графа $G = (V, E)$ и произвольной $размера N \times N$ матрицы $M$ :

\sum _{i,j\in V}(LML)_{i,j}\Omega _{i,j}=-2\operatorname {tr} (ML)

обобщенного правила сумм можно вывести ряд соотношений в зависимости от выбора $M.$ Из этого Двое заслуживают внимания;

{\begin{aligned}\sum _{(i,j)\in E}\Omega _{i,j}&=N-1\\\sum _{i<j\in V}\Omega _{i,j}&=N\sum _{k=1}^{N-1}\lambda _{k}^{-1}\end{aligned}}

где $λ k$ — ненулевые собственные значения матрицы Лапласа . Эта неупорядоченная сумма

\sum _{i<j}\Omega _{i,j}

называется индексом Кирхгофа графа.

Связь с количеством остовных деревьев графа

Для простого связного графа $G = (V, E)$ расстояние сопротивления двумя вершинами может быть выражено как набора остовных деревьев T графа следующим $G$ между $функция$ образом:

\Omega _{i,j}={\begin{cases}{\frac {\left|\{t:t\in T,\,e_{i,j}\in t\}\right\vert }{\left|T\right\vert }},&(i,j)\in E\\{\frac {\left|T'-T\right\vert }{\left|T\right\vert }},&(i,j)\not \in E\end{cases}}

где $T'$ — набор остовных деревьев для графа $G' = (V, E + e i, j)$ . Другими словами, для края $(i,j)\in E$ , расстояние сопротивления между парой узлов $i$ и $j$ вероятность того, что ребро $(i,j)$ находится в случайном остовном дереве $G$ .

Связь со случайными блужданиями

Расстояние сопротивления между вершинами $u$ и $u$ пропорционально времени в пути $C_{u,v}$ случайного блуждания между $u$ и $v$ . Время в пути — это ожидаемое количество шагов в случайном блуждании, которое начинается в $u$ , посещения $v$ , и возвращается в $u$ . Для графика с $m$ краями расстояние сопротивления и время коммутации связаны соотношением $C_{u,v}=2m\Omega _{u,v}$ . ^[2]

Как квадрат евклидова расстояния

Поскольку лапласиан $L$ симметричен и положительно полуопределен, то

\left(L+{\frac {1}{|V|}}\Phi \right),

таким образом, его псевдообратная $Γ$ также симметрична и положительно полуопределена. Таким образом, существует $K$ такой, что $\Gamma =KK^{\textsf {T}}$ и мы можем написать:

\Omega _{i,j}=\Gamma _{i,i}+\Gamma _{j,j}-\Gamma _{i,j}-\Gamma _{j,i}=K_{i}K_{i}^{\textsf {T}}+K_{j}K_{j}^{\textsf {T}}-K_{i}K_{j}^{\textsf {T}}-K_{j}K_{i}^{\textsf {T}}=\left(K_{i}-K_{j}\right)^{2}

показывая, что квадратный корень из расстояния сопротивления соответствует евклидову расстоянию в пространстве, охватываемом $K$ .

Связь с числами Фибоначчи

Веерный граф — это граф на $n + 1$ вершине, в котором существует ребро между вершинами $i$ и $n + 1$ для всех $i = 1, 2, 3, \dots, n$ , а также есть ребро между вершинами $i$ и $i + 1$ для все $i = 1, 2, 3, \dots, n - 1$ .

Расстояние сопротивления между вершиной $n + 1$ и вершиной $i \in {1, 2, 3, \dots, n}$ равно

{\frac {F_{2(n-i)+1}F_{2i-1}}{F_{2n}}}

где $F j$ — $j$ -е число Фибоначчи для $j \geq 0$ . ^[3]

См. также

Проводимость (график)

Ссылки

^ «Дистанция сопротивления» .
^ Чандра, Ашок К. и Рагхаван, Прабхакар и Руццо, Уолтер Л. и Смоленский, Роман (1989). «Электрическое сопротивление графика отражает время в пути и в пути» . Материалы двадцать первого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений - STOC '89 . стр. 574–685. дои : 10.1145/73007.73062 . ISBN 0897913078 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Бапат, РБ; Гупта, Сомит (2010). «Расстояние сопротивления в колесах и вентиляторах» (PDF) . Индийский журнал чистой и прикладной математики . 41 (1): 1–13. дои : 10.1007/s13226-010-0004-2 . МР 2650096 .

Кляйн, диджей; Рандич, MJ (1993). «Дистанция сопротивления». Дж. Математика. Хим . 12 : 81–95. дои : 10.1007/BF01164627 . S2CID 16382100 .
Гутман Иван; Мохар, Боян (1996). «Квазивинеровские индексы и индексы Кирхгофа совпадают». Дж. Хим. Инф. Вычислить. Наука . 36 (5): 982–985. дои : 10.1021/ci960007t .
Паласиос, Хосе Луис (2001). «Формулы в закрытой форме для индекса Кирхгофа». Межд. Дж. Квантум Хим . 81 (2): 135–140. doi : 10.1002/1097-461X(2001)81:2<135::AID-QUA4>3.0.CO;2-G .
Бабич, Д.; Кляйн, диджей; Луковиц И.; Николич, С.; Тринайстич, Н. (2002). «Матрица сопротивления-расстояния: вычислительный алгоритм и его применение». Межд. Дж. Квантум Хим . 90 (1): 166–167. дои : 10.1002/qua.10057 .
Кляйн, диджей (2002). «Правила суммы расстояний сопротивления» (PDF) . Хорватская хим. Акта . 75 (2): 633–649. Архивировано из оригинала (PDF) 26 марта 2012 г.
Бапат, Равиндра Б.; Гутман Иван; Сяо, Вэньцзюнь (2003). «Простой метод расчета расстояния сопротивления» . З. Натурфорш . 58а (9–10): 494–498. Бибкод : 2003ЗНатА..58..494Б . дои : 10.1515/zna-2003-9-1003 .
Пласиос, Хосе Луис (2004). «Формулы Фостера через вероятность и индекс Кирхгофа». Метод. Вычислить. Прил. Вероятно . 6 (4): 381–387. дои : 10.1023/B:MCAP.0000045086.76839.54 . S2CID 120309331 .
Бендито, Энрике; Кармона, Анхелес; Энсинас, Андрес М.; Гесто, Хосе М. (2008). «Формула индекса Кирхгофа». Межд. Дж. Квантум Хим . 108 (6): 1200–1206. Бибкод : 2008IJQC..108.1200B . дои : 10.1002/qua.21588 .
Чжоу, Бо; Тринайстич, Ненад (2009). «Индекс Кирхгофа и соответствующее число». Межд. Дж. Квантум Хим . 109 (13): 2978–2981. Бибкод : 2009IJQC..109.2978Z . дои : 10.1002/qua.21915 .
Чжоу, Бо; Тринайстич, Ненад (2009). «О расстоянии сопротивления и индексе Кирхгофа». Дж. Математика. Хим . 46 : 283–289. дои : 10.1007/s10910-008-9459-3 . hdl : 10338.dmlcz/140814 . S2CID 119389248 .
Чжоу, Бо (2011). «О сумме степеней собственных значений Лапласа и лапласовском индексе Эстрады графов». Матч Коммун. Математика. Вычислить. Хим . 62 : 611–619. arXiv : 1102.1144 .

Чжан, Хэпин; Ян, Юджун (2007). «Расстояние сопротивления и индекс Кирхгофа в циркулянтных графах». Межд. Дж. Квантум Хим . 107 (2): 330–339. Бибкод : 2007IJQC..107..330Z . дои : 10.1002/qua.21068 .

Ян, Юджун; Чжан, Хэпин (2008). «Некоторые правила дистанции сопротивления с приложениями». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 41 (44): 445203. Бибкод : 2008JPhA...41R5203Y . дои : 10.1088/1751-8113/41/44/445203 . S2CID 122226781 .

[1] «Дистанция сопротивления» .

[2] Чандра, Ашок К. и Рагхаван, Прабхакар и Руццо, Уолтер Л. и Смоленский, Роман (1989). «Электрическое сопротивление графика отражает время в пути и в пути» . Материалы двадцать первого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений - STOC '89 . стр. 574–685. дои : 10.1145/73007.73062 . ISBN 0897913078 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[3] Бапат, РБ; Гупта, Сомит (2010). «Расстояние сопротивления в колесах и вентиляторах» (PDF) . Индийский журнал чистой и прикладной математики . 41 (1): 1–13. дои : 10.1007/s13226-010-0004-2 . МР 2650096 .

[1]

[2]

[3]