Квазиполиномиальный

В математике квазиполином ) ( псевдополином является обобщением многочленов . В то время как коэффициенты многочлена происходят из кольца , коэффициенты квазиполиномов вместо этого представляют собой периодические функции с целым периодом. Квазиполиномы встречаются в большей части комбинаторики как перечислители различных объектов.

Квазиполином можно записать как $q(k)=c_{d}(k)k^{d}+c_{d-1}(k)k^{d-1}+\cdots +c_{0}(k)$ , где $c_{i}(k)$ — периодическая функция с целым периодом. Если $c_{d}(k)$ не тождественно ноль, то степень $q$ является $d$ . Эквивалентно, функция $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ является квазиполиномом, если существуют многочлены $p_{0},\dots ,p_{s-1}$ такой, что $f(n)=p_{i}(n)$ когда $i\equiv n{\bmod {s}}$ . Полиномы $p_{i}$ называются составляющими $f$ .

Примеры

Учитывая $d$ -мерный многогранник $P$ с рациональными вершинами $v_{1},\dots ,v_{n}$ , определять $tP$ быть выпуклой оболочкой $tv_{1},\dots ,tv_{n}$ . Функция $L(P,t)=\#(tP\cap \mathbb {Z} ^{d})$ является квазиполиномом по $t$ степени $d$ . В этом случае, $L(P,t)$ это функция $\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ . Это известно как квазиполином Эрхарта , названный в честь Эжена Эрхарта .
Даны два квазиполинома $F$ и $G$ , свертка $F$ и $G$ является