Уравнение Зауэрбрея

Уравнение Зауэрбрея было разработано немцем Гюнтером Зауэрбреем в 1959 году во время работы над докторской диссертацией в Техническом университете Берлина , Германия. Это метод корреляции изменений частоты колебаний пьезоэлектрического кристалла с нанесенной на него массой. Одновременно он разработал метод измерения характеристической частоты и ее изменений, используя кристалл в качестве компонента, определяющего частоту генераторной схемы. Его метод продолжает использоваться в качестве основного инструмента в экспериментах на кварцевых микровесах (QCM) для преобразования частоты в массу и действителен почти во всех приложениях.

Уравнение получено путем рассмотрения осажденной массы, как если бы она была продолжением толщины подстилающего кварца. Из-за этого корреляция массы и частоты (определенная уравнением Зауэрбрея) ​​в значительной степени не зависит от геометрии электрода. Преимущество этого метода состоит в том, что он позволяет определять массу без калибровки, что делает настройку желательной с точки зрения затрат и времени.

Уравнение Зауэрбрея определяется как:

$\Delta f=-{\frac {2f_{0}^{2}}{A{\sqrt {\rho _{q}\mu _{q}}}}}\Delta m$

где:

$f_{0}$ – Резонансная частота основной моды (Гц)

$\Delta f$ – нормализованное изменение частоты (Гц)

$\Delta m$ – Изменение массы (г)

$A$ – пьезоэлектрически активного кристалла (Площадь между электродами, см Площадь ² )

$\rho _{q}$ – Плотность кварца ( $\rho _{q}$ = 2,648 г/см ³ )

$\mu _{q}$ – Модуль сдвига кварца для кристалла АТ-срезки ( $\mu _{q}$ = 2,947x10 ¹¹ г·см ⁻¹ ·с ⁻² )

Нормированная частота $\Delta f$ — номинальный сдвиг частоты этого режима, разделенный на его номер режима (большая часть программного обеспечения по умолчанию выводит нормированный сдвиг частоты). Поскольку пленка рассматривается как расширение толщины, уравнение Зауэрбрея применимо только к системам, в которых выполняются следующие три условия: осаждаемая масса должна быть жесткой, осаждаемая масса должна быть распределена равномерно и частота изменения $\Delta f/f$ < 0,05.

Если изменение частоты превышает 5%, т.е. $\Delta f/f$ > 0,05, для определения изменения массы необходимо использовать метод Z-match. Формула метода Z-match:

${\frac {\Delta m}{A}}\ ={\frac {N_{q}\rho _{q}}{\pi Zf_{L}}}\tan ^{-1}\left[Z\tan \left(\pi {\frac {f_{U}-f_{L}}{f_{U}}}\right)\right]$

Уравнение 2 – Метод Z-сопоставления

$f_{L}$ – Частота нагруженного кристалла (Гц)

$f_{U}$ – Частота ненагруженного кристалла, т.е. резонансная частота (Гц)

$N_{q}$ – Постоянная частоты для кварцевого кристалла AT-огранки (1,668x10 ¹³ Гц·Å)

$\Delta m$ – Изменение массы (г)

$A$ – Площадь пьезоэлектрически активного кристалла (Площадь между электродами, см ² )

$\rho _{q}$ – Плотность кварца ( $\rho _{q}$ = 2,648 г/см ³ )

$Z$ – Z-фактор киноматериала $={\sqrt {\left({\frac {\rho _{q}\mu _{q}}{\rho _{f}\mu _{f}}}\ \right)}}$

$\rho _{f}$ – Плотность пленки (Варьируется: единицы измерения – г/см ³ )

$\mu _{q}$ – Модуль сдвига кварца ( $\mu _{q}$ = 2,947x10 ¹¹ г·см ⁻¹ ·с ⁻² )

$\mu _{f}$ – Модуль сдвига пленки (Варьируется: единицы измерения – г·см ⁻¹ ·с ⁻² )

Ограничения

Уравнение Зауэрбрея было разработано для колебаний в воздухе и применимо только к жестким массам, прикрепленным к кристаллу. Показано, что измерения микровесов на кристалле кварца можно проводить в жидкости, при этом будет наблюдаться связанное с вязкостью уменьшение резонансной частоты:

$\Delta f={-\ f_{0}^{3/2}(\eta _{l}\rho _{l}/\pi \rho _{q}\mu _{q}n)^{1/2}}$

где $\rho _{l}$ - плотность жидкости, $\eta _{l}$ - вязкость жидкости, а $n$ это номер режима.