Обратные уравнения Колмогорова (диффузия)

( Обратное уравнение Колмогорова (KBE) диффузия) и сопряженное с ним уравнение , иногда известное как прямое уравнение Колмогорова (диффузия), представляют собой уравнения в частных производных (PDE), которые возникают в теории марковских процессов с непрерывным временем и непрерывным состоянием . Оба были опубликованы Андреем Колмогоровым в 1931 году. ^{[ 1 ]} Позже выяснилось, что прямое уравнение уже было известно физикам под названием уравнение Фоккера-Планка ; KBE, с другой стороны, был новым.

Неформально прямое уравнение Колмогорова решает следующую проблему. У нас есть информация о состоянии x системы в момент времени t (а именно распределение вероятностей $p_{t}(x)$ ); мы хотим узнать распределение вероятностей состояния позже $s>t$ . Прилагательное «вперед» указывает на то, что $p_{t}(x)$ служит начальным условием, и PDE интегрируется вперед во времени (в общем случае, когда начальное состояние точно известно, $p_{t}(x)$ представляет собой дельта-функцию Дирака с центром в известном начальном состоянии).

С другой стороны, обратное уравнение Колмогорова полезно, когда нас интересует в момент времени t в будущем моменте s , будет ли система находиться в заданном подмножестве состояний B , иногда называемом целевым набором . Цель описывается заданной функцией $u_{s}(x)$ который равен 1, если состояние x находится в целевом наборе в момент времени s , и нулю в противном случае. Другими словами, $u_{s}(x)=1_{B}$ , индикаторная функция для множества B . Мы хотим знать для каждого состояния x в определенный момент времени $t,\ (t<s)$ какова вероятность попадания в целевой набор в момент s (иногда называемая вероятностью попадания). В этом случае $u_{s}(x)$ служит конечным условием УЧП, который интегрируется назад во времени, от s до t .

Формулировка обратного уравнения Колмогорова

Предположим, что состояние системы $X_{t}$ развивается согласно стохастическому дифференциальному уравнению

dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}\,,

тогда обратное уравнение Колмогорова имеет вид ^{[ 2 ]}

{\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=\mu (x,t){\frac {\partial }{\partial x}}p(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x,t),

для $t\leq s$ , при условии конечного условия $p(x,s)=u_{s}(x)$ . Это можно получить, используя лемму Ито о $p(x,t)$ и установка $dt$ член, равный нулю.

Это уравнение также можно вывести из формулы Фейнмана–Каца, если отметить, что вероятность попадания равна ожидаемому значению $u_{s}(x)$ по всем путям, исходящим из состояния $x$ во время $t$ :

\Pr(X_{s}\in B\mid X_{t}=x)=E[u_{s}(x)\mid X_{t}=x].

Исторически КБЕ ^{[ 1 ]} была разработана до формулы Фейнмана-Каца (1949).

Формулировка прямого уравнения Колмогорова

В тех же обозначениях, что и раньше, соответствующее прямое уравнение Колмогорова имеет вид

{\frac {\partial }{\partial s}}p(x,s)=-{\frac {\partial }{\partial x}}[\mu (x,s)p(x,s)]+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}[\sigma ^{2}(x,s)p(x,s)],

для $s\geq t$ , с начальным условием $p(x,t)=p_{t}(x)$ . Дополнительную информацию об этом уравнении см. в уравнении Фоккера – Планка .

См. также

Уравнения Колмогорова

Ссылки

Этеридж, А. (2002). Курс финансового расчета . Издательство Кембриджского университета.

^ Jump up to: ^а ^б Андрей Колмогоров, «Об аналитических методах теории вероятностей», 1931, [1]
^ Рискен, Х., «Уравнение Фоккера-Планка: методы решения и приложения» 1996, Springer

[k31-1] Jump up to: ^а ^б Андрей Колмогоров, «Об аналитических методах теории вероятностей», 1931, [1]

[2] Рискен, Х., «Уравнение Фоккера-Планка: методы решения и приложения» 1996, Springer

[ 1 ]

[ 2 ]