Совместное приближение. Диагонализация собственных матриц.

Диагонализация собственных матриц совместного приближения (JADE) — это алгоритм анализа независимых компонентов , который разделяет наблюдаемые смешанные сигналы на сигналы скрытого источника, используя моменты четвертого порядка . Моменты четвертого порядка являются мерой негауссовости, которая используется в качестве показателя независимости между исходными сигналами . Мотивацией для этой меры является то, что гауссовы распределения обладают нулевым избыточным эксцессом , а поскольку негауссовость является каноническим предположением ICA, JADE ищет ортогональное вращение наблюдаемых смешанных векторов для оценки исходных векторов, которые обладают высокими значениями избыточного эксцесса.

Алгоритм

Позволять $\mathbf {X} =(x_{ij})\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ обозначают матрицу наблюдаемых данных, чья $n$ столбцы соответствуют наблюдениям за $m$-вариация смешанных векторов. Предполагается, что $\mathbf {X}$ , предварительно забелен то есть его строки имеют выборочное среднее, равное нулю, а выборочная ковариация равна $m\times m$ размерная единичная матрица, то есть

${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}x_{ij}=0\quad {\text{and}}\quad {\frac {1}{n}}\mathbf {X} {\mathbf {X} }^{\prime }=\mathbf {I} _{m}$.

Применение JADE к $\mathbf {X}$ влечет за собой

1. вычисление четвертого порядка кумулянтов $\mathbf {X}$ а потом
2. оптимизация функции контрастности для получения $m\times m$ матрица вращения $O$

оценить исходные компоненты, заданные строками $m\times n$ размерная матрица $\mathbf {Z} :=\mathbf {O} ^{-1}\mathbf {X}$.