Модель квантового двойника

В физике конденсированного состояния и квантовой теории информации модель квантового дубля , предложенная Алексеем Китаевым , представляет собой решетчатую модель, демонстрирующую топологические возбуждения. Эту модель можно рассматривать как решеточную калибровочную теорию, и она имеет приложения во многих областях, таких как топологические квантовые вычисления , топологический порядок , топологическая квантовая память , квантовый код, исправляющий ошибки и т. д. Название «квантовый двойник» происходит от двойника Дринфельда. конечных групп и алгебр Хопфа . Наиболее известным примером является модель торического кода , которая является частным случаем модели квантового двойника, в которой входная группа устанавливается как циклическая группа. $\mathbb {Z} _{2}$.

Модель квантового двойника Китаева

Входными данными для квантового двойника Китаева является конечная группа $G$. Рассмотрим направленную решетку $\Sigma$, мы помещаем гильбертово пространство $\mathbb {C} [G]$ состоит из групповых элементов на каждом ребре, существует четыре типа операторов ребер.

$L_{+}^{g}|h\rangle =|gh\rangle ,L_{-}^{g}|h\rangle =|hg^{-1}\rangle ,$

$T_{+}^{g}|h\rangle =\delta _{g,h}|h\rangle ,L_{-}^{g}|h\rangle =T_{g^{-1},h}|h\rangle .$

Для каждой вершины, соединяющейся с $m$ края $e_{1},\ldots ,e_{m}$, существует вершинный оператор

$A_{v}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}L^{g}(e_{1})\otimes \ldots \otimes L^{g}(e_{m}).$

Обратите внимание, что каждое ребро имеет ориентацию, когда $v$ является отправной точкой $e_{k}$, оператор устанавливается как $L_{-}$, в противном случае он устанавливается как $L_{+}$.

Для каждого лица, окруженного $m$ края $e_{1},\ldots ,e_{m}$, есть фейс-оператор

$B_{f}=\sum _{h_{1}\cdots h_{m}=1_{G}}\prod _{k=1}^{m}T^{h_{k}}(e_{k}).$

Подобно вершинному оператору, из-за ориентации ребра, когда грань $f$ находится справа при прохождении положительного направления $e$, мы установили $T_{+}$; в противном случае мы устанавливаем $T_{-}$ в приведенном выше выражении. Также обратите внимание, что порядок ребер, окружающих грань, предполагается против часовой стрелки.

Решеточный гамильтониан модели квантового дубля имеет вид

$H=-\sum _{v}A_{v}-\sum _{f}B_{f}.$

оба из $A_{v}$ и $B_{f}$ являются эрмитовыми проекторами, они являются стабилизатором, если рассматривать модель как квантовый код, исправляющий ошибки.

Топологические возбуждения модели характеризуются представлениями квантового двойника конечной группы. $G$. Анионные типы задаются неприводимыми представлениями. В решеточной модели топологические возбуждения создаются ленточными операторами.

Теория границ с щелями в модели квантового дубля может быть построена на основе подгрупп $G$. Для этой модели существует двойственность границы и объема.

Топологическое возбуждение модели эквивалентно возбуждению модели струнной сети Левина-Вена с входными данными, заданными категорией представления конечной группы. $G$.

Модель квантового двойника Хопфа

Модель квантового двойника можно обобщить на случай, когда входные данные задаются алгеброй C* Хопфа . В этом случае грани и вершинные операторы строятся с помощью коумножения алгебры Хопфа. Для каждой вершины интеграл Хаара входной алгебры Хопфа используется для построения вершинного оператора. Для каждой грани интеграл Хаара двойственной алгебры Хопфа к входной алгебре Хопфа используется для построения оператора грани.

Топологическое возбуждение создается ленточными операторами.

Слабая модель квантового двойника Хопфа

Более общий случай возникает, когда в качестве входных данных выбирается слабая алгебра Хопфа, что приводит к модели слабого квантового дубля Хопфа.