Полумодуль

В математике полумодуль за исключением того , над полукольцом R подобен модулю над кольцом, что это всего лишь коммутативный моноид, а не абелева группа .

Определение [ править ]

Формально левый R - полумодуль состоит из аддитивно записанного коммутативного моноида M и отображения из $R\times M$ к M, удовлетворяющему следующим аксиомам :

$r(m+n)=rm+rn$
$(r+s)m=rm+sm$
$(rs)m=r(sm)$
$1m=m$
$0_{R}m=r0_{M}=0_{M}$ .

Правый R -полумодуль можно определить аналогично. Для модулей над кольцом последняя аксиома следует из остальных. С полумодулями этого не происходит.

Примеры [ править ]

Если R — кольцо , то любой R -модуль является R -полумодулем. И наоборот, из второй, четвертой и последней аксиом следует, что (-1) m является аддитивной инверсией m для всех $m\in M$ , поэтому любой полумодуль над кольцом на самом деле является модулем.Любое полукольцо является левым и правым полумодулем над собой точно так же, как кольцо является левым и правым модулем над собой. Каждый коммутативный моноид является однозначно $\mathbb {N}$ -полумодуль точно так же, как абелева группа является $\mathbb {Z}$ -модуль.

Ссылки [ править ]

Голан, Джонатан С. (1999), «Полумодули над полукольцами» , Полукольца и их приложения , Дордрехт: Springer Нидерланды, стр. 149–161, ISBN 978-90-481-5252-0 , получено 22 февраля 2022 г.

Эта линейной алгебре, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .