Теорема Слуцкого

В вероятностей теории теорема Слуцкого распространяет некоторые свойства алгебраических операций над сходящимися последовательностями действительных чисел на последовательности случайных величин . ^{[ 1 ]}

Теорема названа в честь Евгения Слуцкого . ^{[ 2 ]} Теорему Слуцкого также приписывают Харальду Крамеру . ^{[ 3 ]}

Заявление

Позволять $X_{n},Y_{n}$ быть последовательностями скалярных/векторных/матричных случайных элементов . Если $X_{n}$ сходится по распределению к случайному элементу $X$ и $Y_{n}$ сходится по вероятности к константе $c$ , затем

$X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;$
$X_{n}Y_{n}\ \xrightarrow {d} \ Xc;$
$X_{n}/Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X/c,$ при условии, что c обратимо,

где ${\xrightarrow {d}}$ обозначает сходимость распределения .

Примечания:

Требование, чтобы Y _n сходилось к константе, важно — если бы он сходился к невырожденной случайной величине, теорема была бы недействительна. Например, пусть $X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)$ и $Y_{n}=-X_{n}$ . Сумма $X_{n}+Y_{n}=0$ для всех значений n . Более того, $Y_{n}\,\xrightarrow {d} \,{\rm {Uniform}}(-1,0)$ , но $X_{n}+Y_{n}$ не сходится по распределению к $X+Y$ , где $X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)$ , $Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)$ , и $X$ и $Y$ независимы. ^{[ 4 ]}
Теорема останется верной, если заменить все сходимости по распределению сходимости по вероятности.

Доказательство

Эта теорема следует из того, что если X _n сходится по распределению к X , а Y _n сходится по вероятности к константе c , то совместный вектор ( X _n , Y _n ) сходится по распределению к ( X , c ) ( см. здесь ) .

Далее мы применяем теорему о непрерывном отображении , признавая функции g ( x , y ) = x + y , g ( x , y ) = xy и g ( x , y ) = x y. ⁻¹ непрерывны (чтобы последняя функция была непрерывной, y должна быть обратимой).

См. также

Сходимость случайных величин

Ссылки

^ Гольдбергер, Артур С. (1964). Эконометрическая теория . Нью-Йорк: Уайли. стр. 117–120 .
^ Слуцкий, Е. (1925). «О стохастических асимптотах и пределах». Метрон (на немецком языке). 5 (3): 3–89. ЖФМ 51.0380.03 .
^ Теорема Слуцкого также называется теоремой Крамера согласно замечанию 11.1 (стр. 249) из Гут, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-22833-0 .
^ См. Цзэн, Дунлинь (осень 2018 г.). «Теория случайных величин для больших выборок (слайды лекций)» (PDF) . Расширенная теория вероятностей и статистический вывод I (BIOS 760) . Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл. Слайд 59.

Дальнейшее чтение

Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2001). Статистический вывод . Пасифик Гроув: Даксбери. стр. 240–245. ISBN 0-534-24312-6 .
Гриметт, Г.; Стирзакер, Д. (2001). Вероятность и случайные процессы (3-е изд.). Оксфорд.
Хаяси, Фумио (2000). Эконометрика . Издательство Принстонского университета. стр. 92–93. ISBN 0-691-01018-8 .

[1] Гольдбергер, Артур С. (1964). Эконометрическая теория . Нью-Йорк: Уайли. стр. 117–120 .

[2] Слуцкий, Е. (1925). «О стохастических асимптотах и пределах». Метрон (на немецком языке). 5 (3): 3–89. ЖФМ 51.0380.03 .

[3] Теорема Слуцкого также называется теоремой Крамера согласно замечанию 11.1 (стр. 249) из Гут, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-22833-0 .

[4] См. Цзэн, Дунлинь (осень 2018 г.). «Теория случайных величин для больших выборок (слайды лекций)» (PDF) . Расширенная теория вероятностей и статистический вывод I (BIOS 760) . Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл. Слайд 59.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]