Теорема о непрерывном отображении

Не путать с теоремой о сжатии .

В теории вероятностей теорема о непрерывном отображении утверждает, что непрерывные функции сохраняют пределы, даже если их аргументами являются последовательности случайных величин. Непрерывная функция, по определению Гейне , — это такая функция, которая отображает сходящиеся последовательности в сходящиеся последовательности: если → _xn x , то g ( xn ₎ → g ( x ). Теорема о непрерывном отображении утверждает, что это также будет верно, если мы заменим детерминированную последовательность { x _n } последовательностью случайных величин { X _n } и заменим стандартное понятие сходимости действительных чисел «→» одним из типов сходимости случайных величин .

Эта теорема была впервые доказана Генри Манном и Абрахамом Вальдом в 1943 году. и поэтому ее иногда называют теоремой Манна-Вальда . Между тем Денис Сарган называет ее общей теоремой преобразования .

Заявление

Пусть { X _n }, X — случайные элементы определенные в метрическом пространстве S. , Предположим, что функция g : S → S′ (где S′ — другое метрическое пространство) имеет множество точек разрыва Dg _Pr такое, что [ X ∈ Dg _] = 0 . Затем

${\begin{aligned}X_{n}\ {\xrightarrow {\text{d}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{d}}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!}}\ g(X).\end{aligned}}$

где верхние индексы «d», «p» и «as» обозначают сходимость по распределению , сходимость по вероятности и сходимость почти наверняка соответственно.

Доказательство

Это доказательство было взято из ( ван дер Ваарт 1998 , теорема 2.3).

Пространства S и S′ снабжены определенными метриками. Для простоты обе эти метрики будем обозначать через | х - у | обозначений, даже если метрики могут быть произвольными и не обязательно евклидовыми.

Конвергенция в распределении

Нам понадобится конкретное утверждение из теоремы Портманто : сходимость распределения $X_{n}{\xrightarrow {d}}X$ эквивалентно

$\mathbb {E} f(X_{n})\to \mathbb {E} f(X)$ для любого ограниченного непрерывного функционала f .

Так что достаточно доказать, что $\mathbb {E} f(g(X_{n}))\to \mathbb {E} f(g(X))$ для любого ограниченного непрерывного функционала f . Обратите внимание, что $F=f\circ g$ сам по себе является ограниченным непрерывным функционалом. Итак, утверждение следует из утверждения выше.

Сходимость по вероятности

Зафиксируем произвольное ε > 0. Тогда для любого δ > 0 рассмотрим множество B _δ, определенное как

$B_{\delta }={\big \{}x\in S\mid x\notin D_{g}:\ \exists y\in S:\ |x-y|<\delta ,\,|g(x)-g(y)|>\varepsilon {\big \}}.$

Это множество точек непрерывности x функции g (·), для которых можно найти внутри δ -окрестности x точку, отображающуюся вне ε -окрестности g ( x ). По определению непрерывности это множество сжимается при стремлении δ к нулю, так что lim _{δ → 0} B _δ = ∅.

Теперь предположим, что | г ( Икс ) - г ( Икс _п )| > е . Это означает, что верно хотя бы одно из следующих условий: либо | Икс - Икс _п | ≥ δ , или X ∈ D _г , или X ∈ B _δ . В терминах вероятностей это можно записать как

$\Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}\leq \Pr {\big (}|X_{n}-X|\geq \delta {\big )}+\Pr(X\in B_{\delta })+\Pr(X\in D_{g}).$

В правой части первое слагаемое сходится к нулю при n → ∞ для любого фиксированного δ по определению сходимости по вероятности последовательности { X _n }. Второе слагаемое сходится к нулю при δ → 0, поскольку множество B _δ сжимается до пустого множества. Причем последнее слагаемое тождественно равно нулю по условию теоремы. Поэтому вывод таков, что

$\lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}=0,$

что означает, что g ( X _n ) сходится к g ( X ) по вероятности.

Почти уверенная конвергенция

По определению непрерывности функции g (·),

$\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\quad \Rightarrow \quad \lim _{n\to \infty }g(X_{n}(\omega ))=g(X(\omega ))$

в каждой точке X ( ω ), где g (·) непрерывна. Поэтому,

${\begin{aligned}\Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X)\right)&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X),\ X\notin D_{g}\right)\\&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }X_{n}=X,\ X\notin D_{g}\right)=1,\end{aligned}}$

потому что пересечение двух почти верных событий почти наверняка.

По определению заключаем, что ( Xn ) _g почти наверняка сходится к g ( X ).

См. также

• Теорема Слуцкого
• Теорема Портманто
• Прогрессивная мера