Поток Тейлора – Макколла

Течение Тейлора – Макколла относится к устойчивому течению за конической ударной волной , прикрепленной к твердому конусу. Поток назван в честь Г.И. Тейлора и Дж.В. Макколла, которые описали поток в 1933 году, руководствуясь более ранней работой Теодора фон Кармана .

Математическое описание

Система координат, где пунктиром изображен конический скачок уплотнения.

Рассмотрим стационарное сверхзвуковое обтекание твердого конуса, имеющего полувертикальный угол $\chi$. В этой ситуации может образоваться коническая ударная волна, вершина которой лежит в вершине сплошного конуса. Если бы это была двумерная задача, т. е. сверхзвуковое обтекание клина, то набегающий поток отклонился бы на угол $\chi$ при пересечении ударной волны так, чтобы линии тока за ударной волной были параллельны сторонам клина. Такой простой поворот линий тока невозможен для трехмерного случая. После прохождения ударной волны линии тока искривляются и лишь асимптотически приближаются к образующим конуса. Искривление линий тока сопровождается постепенным увеличением плотности и уменьшением скорости, помимо тех приращений/уменьшений, которые происходят при ударной волне.

Направление и величина скорости непосредственно за косой ударной волной задаются слабой ветвью ударной поляры . Это, в частности, предполагает, что для каждого значения входящего числа Маха $M_{1}$, существует максимальное значение $\chi _{\mathrm {max} }$ за пределами которой ударная поляра не дает решения, и в этом случае коническая ударная волна оторвется от твердой поверхности (см. Отражение Маха ). Эти отдельные случаи здесь не рассматриваются. Течение непосредственно за косой конической ударной волной обычно является сверхзвуковым, однако при $\chi$ близко к $\chi _{\mathrm {max} }$, оно может быть дозвуковым. Сверхзвуковой поток за ударной волной по мере развития вниз по потоку станет дозвуковым.

Поскольку все падающие линии тока пересекают коническую ударную волну под одним и тем же углом, интенсивность ударной волны постоянна. Это, в частности, означает, что скачок энтропии в ударной волне также постоянен на всем протяжении. В этом случае течение за ударной волной является потенциальным течением . Следовательно, мы можем ввести потенциал скорости $\varphi$ такой, что $\mathbf {v} =\nabla \varphi$. Поскольку задача не имеет масштаба и явно осесимметрична, поле скорости $\mathbf {v}$ и поле давления $p$ окажутся функциями полярного угла $\theta$ только (начало сферических координат $(r,\theta ,\phi )$ считается расположенным в вершине). Это означает, что у нас есть

$\varphi =rf(\theta ),\quad v_{r}=f(\theta ),\quad v_{\theta }=f'(\theta ),\quad v_{\phi }=0,\quad p=g(\theta ).$

Стационарный потенциальный поток описывается уравнением

$c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0,$

где скорость звука $c=c(v)$ выражается как функция величины скорости $v^{2}=(\nabla \phi )^{2}$ только. Подставляя предполагаемую выше форму поля скорости в основное уравнение, мы получаем общее уравнение Тейлора – Макколла

$(c^{2}-f'^{2})f''+c^{2}\cot \theta f'+(2c^{2}-f'^{2})f=0,\quad c=c(f^{2}+f'^{2}).$

Уравнение сильно упрощается для политропного газа, для которого $c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)$, то есть

$c^{2}=(\gamma -1)h_{0}\left(1-{\frac {f^{2}+f'^{2}}{2h_{0}}}\right),$

где $\gamma$ - удельная теплоемкость и $h_{0}$ – энтальпия торможения . Вводя эту формулу в общее уравнение Тейлора–Макколла и вводя безразмерную функцию $F(\theta )=f(\theta )/v_{\mathrm {max} }$, где $v_{\mathrm {max} }={\sqrt {2h_{0}}}$ (скорость потенциального потока при его истечении в вакуум) получаем для политропного газа уравнение Тейлора–Макколла ,

$\left[{\frac {\gamma +1}{2}}F'^{2}-{\frac {\gamma -1}{2}}(1-F^{2})\right]F''=(\gamma -1)(1-F^{2})F+{\frac {\gamma -1}{2}}\cot \theta (1-F^{2})F'-\gamma FF'^{2}-{\frac {\gamma -1}{2}}\cot \theta F'^{3}.$

Уравнение должно удовлетворять условию, что $F'(\chi )=0$ (отсутствие проникновения на твердую поверхность), а также должно соответствовать условиям за ударной волной при $\chi =\psi$, где $\psi$ - это половина угла ударного конуса, который должен быть определен как часть решения для заданного числа Маха набегающего потока. $M$ и $\gamma$. Уравнение Тейлора – Макколла не имеет известного явного решения и интегрируется численно.

Решение Кармана – Мура

Когда угол конуса очень мал, поток везде почти параллелен, и в этом случае можно найти точное решение, как показали Теодор фон Карман и Нортон Б. Мур в 1932 году. Решение более очевидно в цилиндрических координатах. $(\rho ,\varpi ,z)$ ( $\rho$ вот радиальное расстояние от $z$-ось, а не плотность). Если $U$ – скорость набегающего потока, то пишем $\varphi =Uz+\phi$, где $\phi$ является небольшой поправкой и удовлетворяет

${\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}\right)-\beta ^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0,\quad \beta ^{2}=M^{2}-1$

где $M=U/c_{\infty }$ – число Маха набегающего потока. Мы ожидаем, что компоненты скорости будут зависеть только от $\theta$, то есть, $\rho /z=\tan \theta$ в цилиндрических координатах, а это значит, что мы должны иметь $\phi =zg(\xi )$, где $\xi =\rho /z$ является самоподобной координатой. Основное уравнение сводится к

$\xi (1-\beta ^{2}\xi ^{2})g''+g'=0.$

На поверхности конуса $\xi =\tan \chi \approx \chi$, мы должны иметь $v_{\rho }/v_{z}=(\partial \phi /\partial \rho )/(U+\partial \phi /\partial z)\approx (1/U)\partial \phi /\partial \rho =\chi$ и, следовательно, $g'=U\chi$.

В малоугловом приближении слабый ударный конус имеет вид $z=\beta \rho$. Тривиальное решение для $g$ описывает однородное течение перед ударным конусом, тогда как нетривиальное решение, удовлетворяющее граничному условию на твердой поверхности за ударной волной, имеет вид

$g(\xi )=U\chi ^{2}\left({\sqrt {1-\beta ^{2}\xi ^{2}}}-\cosh ^{-1}{\frac {1}{\beta \xi }}\right).$

Поэтому мы имеем

$\varphi =Uz+U\chi ^{2}\left({\sqrt {z^{2}-\beta ^{2}\rho ^{2}}}-z\cosh ^{-1}{\frac {z}{\beta \rho }}\right)$

проявляя логарифмическую особенность как $\rho \to 0.$ Компоненты скорости имеют вид

$v_{z}=U-U\chi ^{2}\cosh ^{-1}{\frac {z}{\beta \rho }},\quad v_{\rho }={\frac {U\chi ^{2}}{\rho }}{\sqrt {z^{2}-\beta ^{2}\rho ^{2}}}.$

Давление на поверхность конуса $p_{s}$ оказывается $p_{s}-p_{\infty }=\rho _{\infty }U^{2}\chi ^{2}[\ln(2/\beta \chi )-1/2]$ (в этой формуле $\rho _{\infty }$ – плотность поступающего газа).

См. также

• Теория Кармана – Мура