H-стабильный потенциал

В статистической механике непрерывных систем потенциал системы многих тел называется H-стабильным (или просто стабильным ), если потенциальная энергия, приходящаяся на одну частицу, ограничена снизу константой, не зависящей от общего числа частиц. Во многих случаях, если потенциал не является H-стабильным, невозможно определить большую каноническую статистическую сумму в конечном объеме из-за катастрофических конфигураций с бесконечными частицами, расположенными в конечном пространстве.

Классическая статистическая механика

Определение

Рассмотрим систему частиц в положениях $x_{1},x_{2},\ldots \in R^{\nu }$; взаимодействие положении или потенциал между частицей в $x_{i}$ и частица в положении $x_{j}$ является

$\phi (x_{i}-x_{j})\,$

где $\phi (x)$ — действительная, четная (возможно, неограниченная) функция. Затем $\phi (x)$ является H-стабильным, если существует $B>0$ такой, что для любого $n\geq 1$ и любой $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in R^{\nu }$,

$V_{n}(x_{1},x_{2},\ldots x_{n}):=\sum _{i<j=1}^{n}\phi (x_{i}-x_{j})\geq -Bn\,$

Приложения

• Если $\phi (0)<\infty$ и для каждого $n\geq 1$ и каждый $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}\in R^{\nu }$, оно держится

$\sum _{i,j=1}^{n}\phi (x_{i}-x_{j})\geq 0$

тогда потенциал $\phi (x)$ стабильна (с константой $B$ данный ${\frac {\phi (0)}{2}}$). Это условие применяется, например, к потенциалам, которые являются: а) положительными функциями; б) положительно определенные функции .

• Если потенциал $\phi (x)$ тогда стабильно для любой ограниченной области $\Lambda$, любой $\beta >0$ и $z>0$, сериал

$\sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!}}\int _{\Lambda ^{n}}\!dx_{1}\cdots dx_{n}\;\exp[-\beta V_{n}(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})]$

является конвергентным. В самом деле, для ограниченных, полунепрерывных сверху потенциалов эта гипотеза не только достаточна, но и необходима!

• Большая каноническая статистическая сумма в конечном объеме равна

$\Xi (\beta ,z,\Lambda ):=1+\sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!}}\int _{\Lambda ^{n}}\!dx_{1}\cdots dx_{n}\;\exp[-\beta V_{n}(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})]$

следовательно, H-стабильность является достаточным условием существования статистической суммы в конечном объеме .

• H-стабильность не обязательно подразумевает существование бесконечного объемного давления. Например, в кулоновской системе (в размерности три) потенциал равен

$\phi (x)={\frac {1}{4\pi |x|}}$

а если заряды всех частиц равны, то потенциальная энергия равна

$V_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i<j}\phi (x_{i}-x_{j})$

и система H-стабильна с $B=0$; но термодинамического предела не существует, потому что потенциал не умерен .

• Если потенциал не ограничен, H-стабильность не является необходимым условием существования большой канонической статистической суммы в конечном объеме. Например, в случае взаимодействия Юкавы в двух измерениях:

$\phi (x)\sim -{\frac {1}{2\pi }}\ln {m|x|}\qquad {\rm {for}}\quad x\sim 0$

если частицы могут иметь заряды разных знаков, потенциальная энергия равна

$H_{n}({\underline {q}},{\underline {x}})=\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\phi (x_{i}-x_{j})$

где $q_{j}$ это заряд частицы $j$. $H_{n}({\underline {q}},{\underline {x}})$ не ограничен снизу: например, когда $n=2$ и $q_{1}q_{2}=1$, потенциал двух тел имеет минимальную

$\inf _{x_{1},x_{2}}\phi (x_{1}-x_{2})=-\infty$

И все же, Фрелих доказал существование термодинамического предела для $\beta <4\pi$.

Квантовая статистическая механика

Понятие H-стабильности в квантовой механике более тонкое. В то время как в классическом случае кинетическая часть гамильтониана не важна, поскольку она может равняться нулю независимо от положения частиц, в квантовом случае важную роль в нижней оценке полной энергии играет кинетический член из-за неопределенности принцип . (Фактически устойчивость материи была исторической причиной введения такого принципа в механику.) Определение стабильности:

$\exists B:{\frac {E_{0}}{N}}>-B,\,$

где E ₀ — энергия основного состояния .

Классическая H-стабильность подразумевает квантовую H-стабильность, но обратное неверно.

Критерий особенно полезен в статистической механике , где H-стабильность необходима для существования термодинамики , т.е. если система не H-стабильна, термодинамический предел не существует.

Ссылки

• Дж. Л. Лебовиц и Эллиот Х. Либ [1] (Physical Review Letters, 1969)