Группа Кремона
В алгебраической геометрии группа Кремоны , введенная Кремоной ( 1863 , 1865 ), — группа автоморфизмов бирациональных -мерное проективное пространство над полем . Это обозначается или или .
Группа Кремоны естественным образом отождествляется с группой автоморфизмов. поля рациональных функций в неопределенное над или, другими словами, чистое трансцендентальное расширение , со степенью трансцендентности .
Проективная общая линейная группа порядка , проективных преобразований , содержится в группе Кремоны порядка . Они равны только тогда, когда или , и в этом случае и числитель, и знаменатель преобразования должны быть линейными.
Группа Кремоны в двух измерениях [ править ]
В двух измерениях Макс Нётер и Гвидо Кастельнуово показали, что комплексная группа Кремоны порождается стандартным квадратичным преобразованием вместе с , хотя были некоторые разногласия относительно правильности их доказательств, и Гизатуллин (1983) дал полный набор соотношений для этих генераторов. Структура этой группы до сих пор недостаточно изучена, хотя была проведена большая работа по поиску ее элементов или подгрупп.
- Кантат и Лами (2010) показали, что группа Кремоны не является простой абстрактной группой;
- Блан показал, что в ней нет нетривиальных нормальных подгрупп, также замкнутых в естественной топологии.
- О конечных подгруппах группы Кремоны см. Долгачев и Исковских (2009) .
Группа Кремоны измерениях высших в
О структуре группы Кремоны в трех измерениях и выше известно мало, хотя многие ее элементы описаны. Блан (2010) показал, что она (линейно) связана, отвечая на вопрос Серра (2010) . Не существует простого аналога теоремы Нётер-Кастельнуво, поскольку Хадсон (1927) показал, что группа Кремоны в размерности не менее 3 не порождается своими элементами степени, ограниченной каким-либо фиксированным целым числом.
Де Жонкьера Группы
Группа Де Жонкьера — это подгруппа группы Кремоны следующего вида [ нужна ссылка ] . Выберите основу трансцендентности для расширения поля . Тогда группа Де Жонкьера — это подгруппа автоморфизмов сопоставление подполя в себя на какое-то время . Он имеет нормальную подгруппу, заданную группой автоморфизмов Кремоны. над полем , а факторгруппа — это группа Кремоны над полем . Его также можно рассматривать как группу бирациональных автоморфизмов расслоения .
Когда и Группа Де Жонкьера — это группа преобразований Кремоны, фиксирующих пучок прямых, проходящих через данную точку, и является полупрямым произведением и .
Ссылки [ править ]
- Альберих-Каррамьяна, Мария (2002), Геометрия плоских карт Кремоны , Конспект лекций по математике, том. 1769, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b82933 , ISBN 978-3-540-42816-9 , МР 1874328
- Блан, Жереми (2010), «Группы Кремоны, связность и простота», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Series 4, 43 (2): 357–364, arXiv : 0903.2489 , doi : 10.24033/asens.2123 , ISSN 0012-9593 , МР 2662668
- Кантат, Серж; Лами, Стефан (2010). «Нормальные подгруппы в группе Кремоны». Акта Математика . 210 (2013): 31–94. arXiv : 1007.0895 . Бибкод : 2010arXiv1007.0895C . дои : 10.1007/s11511-013-0090-1 . S2CID 55261367 .
- Кулидж, Джулиан Лоуэлл (1931), Трактат об алгебраических плоских кривых , Oxford University Press , ISBN 978-0-486-49576-7 , МР 0120551
- Кремона, Л. (1863), «О геометрических преобразованиях плоских фигур» , Giornale di Matematiche di Battaglini , 1 : 305–311.
- Кремона, Л. (1865), «О геометрических преобразованиях плоских фигур» , Giornale di Matematiche di Battaglini , 3 : 269–280, 363–376.
- Демазюр, Мишель (1970), «Алгебраические подгруппы максимального ранга группы Кремоны» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 3 (4): 507–588, doi : 10.24033/asens.1201 , ISSN 0012 -9593 , МР 0284446
- Долгачев, Игорь В. (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд (PDF) , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8 , заархивировано из оригинала (PDF) 11 марта 2012 г. , получено 18 апреля 2012 г.
- Долгачев Игорь Владимирович; Исковских, Василий А. (2009), «Конечные подгруппы плоской группы Кремоны», Алгебра, арифметика и геометрия: в честь Ю.А. И. Манин. Том. Я , прогр. Матем., вып. 269, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 443–548, arXiv : math/0610595 , doi : 10.1007/978-0-8176-4745-2_11 , ISBN 978-0-8176-4744-5 , МР 2641179 , S2CID 2188718
- Гизатуллин, М.Х. (1983), «Определяющие соотношения для группы Кремоны плоскости», Математика СССР-Известия , 21 (2): 211–268, Бибкод : 1983ИзМат..21..211Г , doi : 10.1070/IM1983v021n02ABEH001789 , ISSN 0373 -2436 , МР 0675525
- Годо, Люсьен (1927), Бирациональные преобразования плоскости , Мемориал математических наук, том. 22, Готье-Виллар и Сье, JFM 53.0595.02
- «Группа Кремоны» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- «Преобразование Кремоны» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Хадсон, Хильда Фиби (1927), Преобразования Кремоны в плоскости и пространстве , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35882-8 , Перепечатано в 2012 г.
- Семпл, Дж. Г.; Рот, Л. (1985), Введение в алгебраическую геометрию , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853363-4 , МР 0814690
- Серр, Жан-Пьер (2009), «Оценка в стиле Минковского для порядков конечных подгрупп группы Кремоны ранга 2 над произвольным полем», Московский математический журнал , 9 (1): 193–208, doi : 10.17323/1609-4514-2009-9-1-183-198 , ISSN 1609-3321 , MR 2567402 , S2CID 13589478
- Серр, Жан-Пьер (2010), «Группа Кремоны и ее конечные подгруппы» (PDF) , Asterisk , Seminaire Bourbaki 1000 (332): 75–100, ISBN 978-2-85629-291-4 , ISSN 0303-1179 , МР 2648675