Дифференциальная игра

В теории игр дифференциальные игры — группа задач, связанных с моделированием и анализом конфликтов в контексте динамической системы . Более конкретно, переменная состояния или переменные изменяются со временем в соответствии с дифференциальным уравнением . Ранние анализы отражали военные интересы, рассматривая двух действующих лиц — преследователя и убегающего — с диаметрально противоположными целями. Более поздние анализы отражают инженерные или экономические соображения. ^[1]^[2]

Подключение к оптимальному управлению

Дифференциальные игры тесно связаны с задачами оптимального управления . В задаче оптимального управления существует единственное управление. $u(t)$ и единый критерий оптимизации; теория дифференциальных игр обобщает это на два управления. $u_{1}(t),u_{2}(t)$ и два критерия, по одному для каждого игрока. ^[3] Каждый игрок пытается контролировать состояние системы, чтобы достичь своей цели; система реагирует на действия всех игроков.

История

При изучении конкуренции дифференциальные игры используются начиная с статьи Чарльза Ф. Рооса, опубликованной в 1925 году . ^[4] Первым, кто изучил формальную теорию дифференциальных игр, был Руфус Айзекс , опубликовавший в 1965 году учебник. ^[5] Одной из первых проанализированных игр была «игра с шофёром-убийцей» .

Случайный временной горизонт

Игры со случайным временным горизонтом представляют собой частный случай дифференциальных игр. ^[6] В таких играх конечное время является случайной величиной с заданной функцией распределения вероятностей . Следовательно, игроки максимизируют математическое ожидание функции стоимости. Было показано, что модифицированную задачу оптимизации можно переформулировать как дифференциальную игру со скидкой на бесконечном интервале времени. ^[7]^[8]

Приложения

Дифференциальные игры применяются в экономике. Недавние разработки включают добавление стохастичности к дифференциальным играм и вывод стохастического равновесия Нэша с обратной связью (SFNE). Недавний пример — стохастическая дифференциальная игра капитализма Леонга и Хуанга (2010). ^[9] В 2016 году Юлий Санников получил медаль Джона Бейтса Кларка от Американской экономической ассоциации за вклад в анализ динамических игр с непрерывным временем с использованием методов стохастического исчисления . ^[10]^[11]

Кроме того, дифференциальные игры применяются при наведении ракет. ^[12]^[13] и автономные системы . ^[14]

Обзор дифференциальных игр преследования-уклонения см. в Pachter. ^[15]

См. также

Примечания

^ Тембине, Хамиду (06 декабря 2017 г.). «Игры типа среднего поля» . АИМС Математика . 2 (4): 706–735. дои : 10.3934/Math.2017.4.706 . Архивировано из оригинала 29 марта 2019 г. Проверено 29 марта 2019 г.
^ Джеиш, Буалем; Чеукам, Ален; Тембине, Хамиду (27 сентября 2017 г.). «Игры типа среднего поля в технике» . АИМС Электроника и электротехника . 1 : 18–73. arXiv : 1605.03281 . doi : 10.3934/ElectrEng.2017.1.18 . S2CID 16055840 . Архивировано из оригинала 29 марта 2019 г. Проверено 29 марта 2019 г.
^ Камен, Мортон И .; Шварц, Нэнси Л. (1991). «Дифференциальные игры» . Динамическая оптимизация: вариационное исчисление и оптимальное управление в экономике и менеджменте . Амстердам: Северная Голландия. стр. 272–288. ISBN 0-444-01609-0 .
^ Роос, CF (1925). «Математическая теория конкуренции». Американский журнал математики . 47 (3): 163–175. дои : 10.2307/2370550 . JSTOR 2370550 .
^ Айзекс, Руфус (1999) [1965]. Дифференциальные игры: математическая теория с приложениями к войне и преследованию, контролю и оптимизации (изд. Дувра). Лондон: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-486-40682-2 – через Google Книги.
^ Петросян, Луизиана; Мурзов, Н. В. (1966). «Теоретико-игровые задачи механики». Литовск. Мат. Сб. (на русском языке). 6 : 423–433.
^ Петросян, Луизиана; Шевкопляс, Е.В. (2000). «Кооперативные игры случайной продолжительности». Вестник Санкт-Петербургского ун-та. (на русском языке). 4 (1).
^ Марин-Солано, Хесус; Шевкопляс, Екатерина Владимировна (декабрь 2011 г.). «Непостоянные дисконтирующие и дифференциальные игры со случайным временным интервалом». Автоматика . 47 (12): 2626–2638. дои : 10.1016/j.automatica.2011.09.010 .
^ Леонг, СК; Хуанг, В. (2010). «Стохастическая дифференциальная игра капитализма». Журнал математической экономики . 46 (4): 552. doi : 10.1016/j.jmateco.2010.03.007 . S2CID 5025474 .
^ «Американская экономическая ассоциация» . www.aeaweb.org . Проверено 21 августа 2017 г.
^ Тембине, Х.; Дункан, Тайрон Э. (2018). «Линейно-квадратичные игры типа среднего поля: прямой метод» . Игры . 9 (1): 7. дои : 10.3390/g9010007 . hdl : 10419/179168 .
^ Андерсон, Джеральд М. (1981). «Сравнение законов оптимального управления и дифференциального управления ракетами-перехватчиками» . Журнал руководства и контроля . 4 (2): 109–115. Бибкод : 1981JGCD....4..109A . дои : 10.2514/3.56061 . ISSN 0162-3192 .
^ Понтани, Мауро; Конвей, Брюс А. (2008). «Оптимальный перехват боеголовок уклоняющихся ракет: численное решение дифференциальной игры» . Журнал руководства, контроля и динамики . 31 (4): 1111–1122. Бибкод : 2008JGCD...31.1111C . дои : 10.2514/1.30893 .
^ Фаруки, Фархан А. (2017). Дифференциальная теория игр с приложениями к ракетам и автономным системам наведения . Аэрокосмическая серия. Уайли. ISBN 978-1-119-16847-8 .
^ Пахтер, Меир (2002). «Дифференциальные игры преследования – уклонения с простым движением» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2011 года.

Дальнейшее чтение

Докнер, Энгельберт; Йоргенсен, Штеффен; Лонг, Нго Ван; Зоргер, Герхард (2001), Дифференциальные игры в экономике и менеджменте , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63732-9
Петросян, Леон (1993), Дифференциальные игры преследования , Серия по оптимизации, вып. 2, Мировые научные издательства, ISBN 978-981-02-0979-7

Внешние ссылки

Брессан, Альберто (8 декабря 2010 г.). «Некооперативные дифференциальные игры: Учебное пособие» (PDF) . Департамент математики Пенсильванского государственного университета.

[1] Тембине, Хамиду (06 декабря 2017 г.). «Игры типа среднего поля» . АИМС Математика . 2 (4): 706–735. дои : 10.3934/Math.2017.4.706 . Архивировано из оригинала 29 марта 2019 г. Проверено 29 марта 2019 г.

[2] Джеиш, Буалем; Чеукам, Ален; Тембине, Хамиду (27 сентября 2017 г.). «Игры типа среднего поля в технике» . АИМС Электроника и электротехника . 1 : 18–73. arXiv : 1605.03281 . doi : 10.3934/ElectrEng.2017.1.18 . S2CID 16055840 . Архивировано из оригинала 29 марта 2019 г. Проверено 29 марта 2019 г.

[3] Камен, Мортон И .; Шварц, Нэнси Л. (1991). «Дифференциальные игры» . Динамическая оптимизация: вариационное исчисление и оптимальное управление в экономике и менеджменте . Амстердам: Северная Голландия. стр. 272–288. ISBN 0-444-01609-0 .

[4] Роос, CF (1925). «Математическая теория конкуренции». Американский журнал математики . 47 (3): 163–175. дои : 10.2307/2370550 . JSTOR 2370550 .

[5] Айзекс, Руфус (1999) [1965]. Дифференциальные игры: математическая теория с приложениями к войне и преследованию, контролю и оптимизации (изд. Дувра). Лондон: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-486-40682-2 – через Google Книги.

[PM66-6] Петросян, Луизиана; Мурзов, Н. В. (1966). «Теоретико-игровые задачи механики». Литовск. Мат. Сб. (на русском языке). 6 : 423–433.

[7] Петросян, Луизиана; Шевкопляс, Е.В. (2000). «Кооперативные игры случайной продолжительности». Вестник Санкт-Петербургского ун-та. (на русском языке). 4 (1).

[HS11-8] Марин-Солано, Хесус; Шевкопляс, Екатерина Владимировна (декабрь 2011 г.). «Непостоянные дисконтирующие и дифференциальные игры со случайным временным интервалом». Автоматика . 47 (12): 2626–2638. дои : 10.1016/j.automatica.2011.09.010 .

[9] Леонг, СК; Хуанг, В. (2010). «Стохастическая дифференциальная игра капитализма». Журнал математической экономики . 46 (4): 552. doi : 10.1016/j.jmateco.2010.03.007 . S2CID 5025474 .

[10] «Американская экономическая ассоциация» . www.aeaweb.org . Проверено 21 августа 2017 г.

[11] Тембине, Х.; Дункан, Тайрон Э. (2018). «Линейно-квадратичные игры типа среднего поля: прямой метод» . Игры . 9 (1): 7. дои : 10.3390/g9010007 . hdl : 10419/179168 .

[12] Андерсон, Джеральд М. (1981). «Сравнение законов оптимального управления и дифференциального управления ракетами-перехватчиками» . Журнал руководства и контроля . 4 (2): 109–115. Бибкод : 1981JGCD....4..109A . дои : 10.2514/3.56061 . ISSN 0162-3192 .

[13] Понтани, Мауро; Конвей, Брюс А. (2008). «Оптимальный перехват боеголовок уклоняющихся ракет: численное решение дифференциальной игры» . Журнал руководства, контроля и динамики . 31 (4): 1111–1122. Бибкод : 2008JGCD...31.1111C . дои : 10.2514/1.30893 .

[14] Фаруки, Фархан А. (2017). Дифференциальная теория игр с приложениями к ракетам и автономным системам наведения . Аэрокосмическая серия. Уайли. ISBN 978-1-119-16847-8 .

[15] Пахтер, Меир (2002). «Дифференциальные игры преследования – уклонения с простым движением» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2011 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]