Интерполяция Барнса

Интерполяция Барнса , названная в честь Стэнли Л. Барнса, представляет собой интерполяцию неравномерно распределенных точек данных из набора измерений неизвестной функции в двух измерениях в аналитическую функцию двух переменных. Пример ситуации, когда схема Барнса важна, - это прогноз погоды. где измерения проводятся везде, где могут быть расположены станции мониторинга, положение которых ограничено топографией . Такая интерполяция важна при визуализации данных, например, при построении контурных графиков или других представлений аналитических поверхностей.

Введение

Барнс предложил объективную схему интерполяции двумерных данных с использованием многопроходной схемы. Это обеспечило метод интерполяции давления на уровне моря на всей территории Соединенных Штатов Америки и создания синоптической карты всей страны с использованием рассредоточенных станций мониторинга. Впоследствии исследователи усовершенствовали метод Барнса, чтобы уменьшить количество параметров, необходимых для расчета интерполированного результата, повысив объективность метода.

Метод строит сетку размера, определяемого распределением двумерных точек данных. Используя эту сетку, значения функции вычисляются в каждой точке сетки. Для этого в методе используется ряд функций Гаусса с учетом взвешивания расстояния, чтобы определить относительную важность любого данного измерения для определения значений функции. Затем выполняются корректирующие проходы для оптимизации значений функции путем учета спектрального отклика интерполированных точек.

Метод

Здесь мы описываем метод интерполяции, используемый в многопроходной интерполяции Барнса.

Первый проход

Для данной точки сетки i , j интерполированная функция g ( x _i , y _i ) сначала аппроксимируется обратным взвешиванием точек данных. Для этого каждому гауссиану для каждой точки сетки присваиваются весовые значения, так что

$w_{ij}=\exp \left(-{\frac {r_{m}^{2}}{\kappa }}\right),\,$

где $\kappa$ — параметр спада, который управляет шириной функции Гаусса. Этот параметр контролируется характерным интервалом данных для фиксированного гауссова радиуса обрезания w _ij = e ⁻¹ давая ∆ n такое, что:

$\kappa =5.052\,\left({\frac {2\,\Delta n}{\pi }}\right)^{2}.\,$

Начальная интерполяция функции по измеренным значениям $f_{k}(x,y)$ тогда становится:

$g_{0}(x_{i},y_{j})={\frac {\displaystyle \sum _{k}w_{ij}f_{k}(x,y)}{\displaystyle \sum _{k}w_{ij}}}.$

Второй проход

Поправка для следующего прохода затем использует разницу между наблюдаемым полем и интерполированными значениями в точках измерения для оптимизации результата:

$g_{1}(x_{i},y_{j})=g_{0}(x_{i},y_{j})+\sum (f(x,y)-g_{0}(x,y))\exp \left(-{\frac {r_{m}^{2}}{\gamma \kappa }}\right).\,$

Стоит отметить, что для достижения лучшего согласия между интерполированной функцией и измеренными значениями в экспериментальных точках можно использовать последовательные этапы коррекции.

Выбор параметров

Хотя метод описан как объективный, существует множество параметров, которые управляют интерполируемым полем. Выбор Δ n , шага сетки Δ x и $\gamma$ также влияют на конечный результат. Были предложены рекомендации по выбору этих параметров: однако окончательные используемые значения могут быть выбраны в соответствии с настоящими рекомендациями.

Расстояние между данными, используемое в анализе, Δ n, может быть выбрано либо путем расчета истинного расстояния между точками экспериментальных данных, либо путем использования предположения о полной пространственной случайности , в зависимости от степени кластеризации наблюдаемых данных. Параметр сглаживания $\gamma$ ограничено диапазоном от 0,2 до 1,0. Утверждается , что из соображений целостности интерполяции Δ x ограничивается диапазоном от 0,3 до 0,5.