Эллис червоточина

Экваториальное сечение червоточины Эллиса, катеноида ${\mathcal {C}}$

Червоточина Эллиса — это частный случай дренажной норы Эллиса, в которой «эфир» не течет и нет гравитации. То, что остается, — это чистая проходимая червоточина, состоящая из пары идентичных близнецов, неплоских трехмерных областей, соединенных в двухсфере, «горле» червоточины. Как видно на изображении, двумерные экваториальные сечения червоточины представляют собой катеноидальные «воротники», которые асимптотически плоские вдали от горловины. Поскольку гравитация отсутствует, инерционный наблюдатель ( пробная частица ) может вечно оставаться в состоянии покоя в любой точке пространства, но если его привести в движение какое-то возмущение, он будет следовать по геодезической экваториальной поперечной сечении с постоянной скоростью, как и фотон. Это явление показывает, что в пространстве-времени искривление пространства не имеет ничего общего с гравитацией («искривление времени», можно сказать).

Как частный случай дренажной норы Эллиса , которая сама по себе является «проходимой червоточиной», червоточина Эллиса восходит к открытию дренажной норы в 1969 году (дата первого представления) Гербертом Эллисом, и независимо примерно в то же время К. А. Бронников.

Эллис и Бронников вывели оригинальную проходимую червоточину как решение уравнений вакуумного поля Эйнштейна , дополненное скалярным полем. $\phi$ минимально связан с геометрией пространства-времени с полярностью связи, противоположной ортодоксальной полярности (отрицательной вместо положительной). Несколько лет спустя М. С. Моррис и К. С. Торн изготовили копию червоточины Эллиса, чтобы использовать ее в качестве инструмента для обучения общей теории относительности. утверждая, что существование такой червоточины требует присутствия «отрицательной энергии», точка зрения, которую Эллис рассматривал и явно отказывался принять на том основании, что аргументы в ее пользу были неубедительны.

Решение для червоточины

Метрика червоточины имеет форму собственного времени

$c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-d\sigma ^{2}\,,$

где

${\begin{aligned}d\sigma ^{2}&=d\rho ^{2}+r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,d\Omega ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,\left[d\vartheta ^{2}+(\sin \vartheta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right]\;\;\end{aligned}}$

и $n$ параметр дренажной скважины, который сохраняется после параметра $m$ раствора дренажной скважины Эллиса установлено на 0, чтобы остановить поток эфира и тем самым устранить гравитацию. Если пойти дальше и установить $n$ до 0 метрика становится метрикой пространства-времени Минковского , плоского пространства-времени специальной теории относительности .

В пространстве-времени Минковского каждая времяподобная и каждая светоподобная (нулевая) геодезическая представляет собой прямую «мировую линию», которая проецируется на прямую геодезическую экваториального сечения временного среза постоянного $t,$ как, например, тот, на котором $t=0$ и $\vartheta =\pi /2$, метрика которого является метрикой евклидова двумерного пространства в полярных координатах $[\rho ,\varphi ]$, а именно,

$ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}\,.$

Видно, что каждая пробная частица или фотон следует по такой экваториальной геодезической с фиксированной координатной скоростью, которая может быть равна 0, поскольку в пространстве-времени Минковского нет гравитационного поля. Все эти свойства пространства-времени Минковского имеют свои аналоги в червоточине Эллиса, однако модифицированные тем фактом, что метрика и, следовательно, геодезические экваториальных сечений червоточины не являются прямыми линиями, а скорее являются «наиболее прямыми» путями. в сечениях. Поэтому интересно посмотреть, как выглядят эти экваториальные геодезические.

Экваториальная геодезия червоточины

Геодезические данные ограничены одной стороной горла червоточины.

Геодезические данные, приближающиеся к горловине червоточины

Геодезические, проходящие через горло червоточины

Экваториальное сечение червоточины, определяемое формулой $t=0$ и $\vartheta =\pi /2$ (представитель всех таких сечений) имеет метрику

$ds^{2}=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,d\varphi ^{2}\,.$

Когда сечение с этой метрикой встроено в евклидово трехмерное пространство, изображение представляет собой катеноид. ${\mathcal {C}}$ показано выше, с $\rho$ измерение расстояния от центрального круга у горловины радиуса $n$, вдоль кривой, на которой $\varphi$ фиксирован (показан один такой). В цилиндрических координатах $[r,\varphi ,z]$ уравнение $r=n\cosh(z/n)$ имеет ${\mathcal {C}}$ в качестве его графика.

После некоторых интегрирований и замен уравнения геодезической линии ${\mathcal {C}}$ параметризованный $s$ сократить до

${\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {h}{\rho ^{2}+n^{2}}}$

и

$\left({\frac {d\rho }{ds}}\right)^{2}+{\frac {h^{2}}{\rho ^{2}+n^{2}}}\,=1,$

где $h$ является константой. Если $d\rho /ds\equiv 0\,,$ затем $h^{2}=\rho ^{2}+n^{2}\geq n^{2}\,,$ $\textstyle d\varphi /ds=1/h,$ и $\textstyle \rho =\pm {\sqrt {h^{2}-n^{2}}}\,,$ и наоборот. Таким образом, каждый «круг широты» ( $\rho =$ постоянная) является геодезической. Если с другой стороны $d\rho /ds$ не тождественно 0, то его нули изолированы, и приведенные уравнения можно объединить, чтобы получить орбитальное уравнение

$\left({\frac {d\varphi }{d\rho }}\right)^{2}={\frac {h^{2}}{\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\left(\rho ^{2}+n^{2}-h^{2}\right)}}\,.$

Необходимо рассмотреть три случая:

• $h^{2}>n^{2},$ что подразумевает, что $\rho ^{2}\geq h^{2}-n^{2}>0,$ таким образом, геодезическая ограничена одной или другой стороной червоточины и имеет точку поворота в точке $\textstyle \rho ={\sqrt {h^{2}-n^{2}}}$ или $\textstyle \rho =-{\sqrt {h^{2}-n^{2}}}\,;$
• $h^{2}=n^{2},$ что влечет за собой это $\rho ^{2}>0,$ так, чтобы геодезическая не пересекала горло в точке $\rho =0,$ но набегает на него с той или иной стороны;
• $h^{2}<n^{2},$ что позволяет геодезической пересекать червоточину с любой стороны на другую.

На рисунках показаны примеры трех типов. Если $s$ допускается варьировать от $-\infty$ к $\infty ,$ количество возможных орбитальных оборотов для каждого типа, включая широты, не ограничено. Для первого и третьего типов число возрастает до бесконечности как $h^{2}\to n^{2};$ для спирального типа и широт это число уже бесконечно.

Тот факт, что эти геодезические могут огибать червоточину, ясно показывает, что кривизна пространства сама по себе, без помощи гравитации, может заставить тестовые частицы и фотоны следовать по траекториям, которые значительно отклоняются от прямых линий, и могут создавать эффекты линзирования.

Динамическая червоточина Эллиса

Существует динамическая версия кротовой норы Эллиса, которая является решением тех же уравнений поля. решением которой является статическая червоточина Эллиса. Его метрика

$c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-d\sigma ^{2}\,,$

где

$d\sigma ^{2}=d\rho ^{2}+\left[\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}\,\right]\,d\Omega ^{2}\,,$

$a$ является положительной константой. Имеется «точечная сингулярность» $t=\rho =0,$ но везде метрика регулярна и кривизны конечны. Геодезические, которые делают не столкнуться с точечной сингулярностью; те, которые есть, могут быть продолжены за ее пределы, пройдя по любой из геодезических, которые встречаются с сингулярностью с противоположного направления времени и имеют совместимые касательные (аналогично геодезическим графика $z=(xy)^{3}$ встречающие сингулярность в начале координат).

Для фиксированного ненулевого значения $t$ экваториальное сечение, на котором $\vartheta =\pi /2$ имеет метрику

${\begin{aligned}ds^{2}&=d\rho ^{2}+r^{2}(t,\rho )\,d\varphi ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left[\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}\,\right]\,d\varphi ^{2}\,.\end{aligned}}$

Эта метрика описывает «гиперкатеноид», аналогичный экваториальному катеноиду статической червоточины, с радиусом $n$ горла (где $\rho =0$) теперь заменено на $ac|t|,$ и вообще каждый круг широты геодезического радиуса $\rho$ имеющий окружной радиус $\textstyle r(t,\rho )={\sqrt {(1+a^{2})\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}}}$.

Для $t=0$ метрика $\vartheta =\pi /2$ экваториальное сечение

$ds^{2}=d\rho ^{2}+\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}\,,$

который описывает «гиперконус» с вершиной в особой точке, его широтные круги геодезического радиуса $\rho$ имеющий окружности $\textstyle 2\pi r(0,\rho )=2\pi {\sqrt {1+a^{2}}}\rho \,.$ В отличие от катеноида, ни гиперкатеноид, ни гиперконус не могут быть полностью представлены как поверхность в евклидовом трехмерном пространстве; только те части, где $\textstyle |dr(t,\rho )/d\rho |=(1+a^{2})|\rho |{\big /}{\sqrt {(1+a^{2})\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}}}\leq 1$ (таким образом, где $\textstyle |\rho |\leq c|t|{\big /}{\sqrt {1+a^{2}}}$ или эквивалентно $\textstyle r(t,\rho )\leq {\sqrt {1+a^{2}}}c|t|$) может быть заложен таким образом.

Динамически, как $t$ авансы от $-\infty$ к $\infty$ экваториальные сечения сжимаются от гиперкатеноидов бесконечного радиуса до гиперконусов (гиперкатеноидов нулевого радиуса) при $t=0,$ затем снова расширьтесь до гиперкатеноидов бесконечного радиуса. Исследование тензора кривизны показывает, что полное динамическое многообразие пространства-времени червоточины Эллиса асимптотически плоское во всех направлениях. $-$ времяподобное, светоподобное и пространственноподобное.

Приложения

• Рассеяние червоточиной Эллиса
• Гравитационное линзирование в червоточине Эллиса
  • Микролинзирование червоточины Эллиса
  • Волновой эффект при линзировании червоточиной Эллиса
  • Смещения центроида изображения из-за микролинзирования червоточиной Эллиса
  • Точное уравнение линзы для червоточины Эллиса
  • Линзирование червоточин