Дренажный колодец Эллиса

Дренажная нора Эллиса — самая ранняя известная полная математическая модель проходимой червоточины . Это статическое, сферически симметричное решение уравнений вакуумного поля Эйнштейна, дополненное включением скалярного поля. $\phi$ минимально связан с геометрией пространства-времени с полярностью связи, противоположной ортодоксальной полярности (отрицательной вместо положительной):

${\mathbf {R} }_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}{\mathbf {R} }\,g_{\mu \nu }=-2\,\left(\phi _{,\mu }\phi _{,\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}\phi ^{,\kappa }\phi _{,\kappa }\,g_{\mu \nu }\right)\,.$

Обзор

Решение было найдено в 1969 году (дата первого представления) Гомером Дж. Эллисом. и независимо примерно в то же время Кирилла Бронникова. Бронников указывал, что двумерным аналогом топологии решения является однолистный гиперболоид и что только использование антиортодоксальной полярности связи позволит получить решение с такой топологией. Эллис, мотивацией которого было найти несингулярную замену модели Шварцшильда элементарной гравитирующей частицы, показал, что подойдет только антиортодоксальная полярность, но нашел все решения для любой полярности, как и Бронников. Он довольно глубоко изучил геометрию многообразия решений для антиортодоксальной полярности и обнаружил, что она

• состоит из двух асимптотически плоских трехмерных областей, соединенных в две сферы («сливное отверстие»),
• сингулярность - свободна,
• лишенный односторонних горизонтов событий ,
• геодезически полный
• гравитационно притягивающие с одной стороны сливной ямы и более сильно отталкивающие с другой,
• оснащенный времениподобным векторным полем, он интерпретировал его как поле скоростей «эфира», вытекающего из
  оставайтесь в бесконечности на притягивающей стороне, спускайтесь в водосточную яму и уходите в бесконечность на отталкивающей стороне.
  сторона, «создавая» гравитацию (или реагируя на нее), полностью ускоряясь, и
• проходимый через дренажное отверстие в любом направлении фотонами и пробными частицами .

В статье Четуани и Клемана особый случай дренажной ямы, в которой эфир не течет и нет гравитации, назван «геометрией Эллиса», как и письмо Клемана редактору. Этот особый случай часто называют « червоточиной Эллиса ». Когда полноценную дренажную яму рассматривают в роли прототипа проходимой червоточины, к ней присоединяют имя Бронникова наряду с именем Эллиса.

Решение для дренажной ямы

Экваториальное сечение червоточины Эллиса ( не водосточной), катеноид ${\mathcal {C}}$

Представьте себе две евклидовые плоскости, расположенные одна над другой. Выберите два круга одинакового радиуса, один над другим, и удалите их внутреннюю часть. Сейчас склейте внешние части кругов, плавно сгибая внешние поверхности, чтобы при склейке не было острых краев. Если все сделать осторожно, результатом будет катеноид. ${\mathcal {C}}$ на фото справа или что-то подобное. Затем представьте себе все соединенное верхнее и нижнее пространство, заполненное жидкостью, текущей без завихрений в отверстие сверху и наружу из нижней стороны, набирая скорость на всем пути и сгибая нижнюю область в более коническую форму, чем это видно на рисунке. ${\mathcal {C}}.$ Если вы представите, что этот фильм переходит от плоского экрана к 3D, заменяя плоскости евклидовыми трехмерными пространствами, а круги сферами, и думаете о жидкости, текущей со всех направлений в отверстие сверху и наружу с неизменными направлениями, вы получите довольно хорошее представление о том, что такое «сливная яма». Техническое описание водосточной ямы как пространственно-временного коллектора дано в метрике пространства-времени, опубликованной в 1973 году.

Метрическое решение дренажной скважины, представленное Эллисом в 1973 г., имеет формы собственного времени (с наличием $c$ ясно выразился)

${\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}&=c^{2}dt^{2}-[d\rho -f(\rho )\,c\,dt]^{2}-r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=\left[1-f^{2}(\rho )\right]\,c^{2}dT^{2}-{\frac {1}{1-f^{2}(\rho )}}\,d\rho ^{2}-r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\end{aligned}}\,,$

где $\;\;d\Omega ^{2}=d\vartheta ^{2}+(\sin \vartheta )^{2}d\varphi ^{2}\;\;$ и $\;\;T=t+{\displaystyle {\frac {1}{c}}\!\int \!\!\!{\frac {f(\rho )}{1-f^{2}(\rho )}}\,d\rho \,.}$

Решение зависит от двух параметров: $m$ и $n$, удовлетворяющий неравенствам $0\leq m<n$ но в остальном без ограничений. В этих терминах функции $f$ и $r$ даны

$f(\rho )=-{\sqrt {1-e^{-(2\,m/n)\phi }}}$

и

$r(\rho )=\textstyle {\sqrt {(\rho -m)^{2}+a^{2}}}$$e^{(m/n)\phi }={\sqrt {\frac {(\rho -m)^{2}+a^{2}}{1-f^{2}(\rho )}}}\,,$

в котором

$\phi =\alpha (\rho )={\frac {n}{a}}\left[{\frac {\pi }{2}}-\tan ^{-1}\left({\frac {\rho -m}{a}}\right)\right]$ и $\;a={\sqrt {n^{2}-m^{2}}}.$

Диапазоны координат

$-\infty <t\,,T<\infty \,,\;\,-\infty <\rho <\infty \,,\;\;0<\vartheta <\pi \,,\;\;$ и $\;\,-\pi <\varphi <\pi \,.$

(Для облегчения сравнения с решением Шварцшильда , $\rho$ оригинального решения заменено на $\rho -m.$)

Асимптотически, как $\rho \to \infty$,

$\alpha (\rho )\sim n/\rho \,,\;\;r(\rho )\sim \rho \,,\;\;f(\rho )\sim -{\sqrt {2m/\rho }}\,,\;\;$ и $\;\;f^{2}(\rho )\sim 2m/\rho \,.$

Они показывают, что при сравнении метрики дренажной ямы с метрикой Шварцшильда

${\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}&=c^{2}dt^{2}-[d\rho -f_{\text{S}}(\rho )\,c\,dt]^{2}-r_{\text{S}}^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=\left[1-f_{\text{S}}^{2}(\rho )\right]\,c^{2}\,dT^{2}-{\frac {1}{1-f_{\text{S}}^{2}(\rho )}}\,d\rho ^{2}-r_{S}^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\,,\end{aligned}}$

где частично ( $G=c$) геометрические единицы ,

$r_{\text{S}}(\rho )=\rho \,,\;\;f_{\text{S}}(\rho )=-{\sqrt {2M/\rho }}\,,\;\;$ и $\;\;f_{\text{S}}^{2}(\rho )=2M/\rho \,,$

что параметр $m$ является аналогом массового параметра Шварцшильда $M$.

С другой стороны, как $\rho \to -\infty$,

$\alpha (\rho )\sim n\pi /a\,,\;\;r(\rho )\sim -\rho e^{m\pi /a}\,,\;\;$ и $\;\;f^{2}(\rho )\sim 1-e^{-2m\pi /a}\,.$

График $r$ ниже демонстрирует эту асимптотику, а также тот факт, что, соответствующий $\rho =2M$ (где метрика Шварцшильда имеет пресловутый односторонний горизонт событий, разделяющий внешнюю сторону, где $\rho >2M$, из недр черной дыры, где $\rho <2M$), $r$ достигает $\rho =2m$ положительное минимальное значение, при котором «верхняя» область (где $\rho >2m$) открывается в более просторную «нижнюю» область (где $\rho <2m$).

График $r$

График $f^{2}$

Эфирный поток

Векторное поле $\partial _{t}+cf(\rho )\partial _{\rho }$ генерирует радиальные геодезические, параметризованные собственным временем $\tau$, что согласуется с координатным временем $t$ по геодезическим.

Как следует из графика $f^{2}$, пробная частица, следующая за одной из этих геодезических, стартует из состояния покоя в точке $\rho =\infty ,$ падает вниз к сливному отверстию, полностью набирая скорость, проходит через сливное отверстие и выходит в нижнюю область, все еще набирая скорость в направлении вниз, и достигает $\rho =-\infty$ с

$\mathrm {speed} =c|f(-\infty )|=c{\sqrt {1-e^{-2m\pi /a}}}<c.$

Рассматриваемое векторное поле считается полем скоростей более или менее существенного «эфира», пронизывающего все пространство-время. Этот эфир вообще «больше, чем просто инертная среда для распространения электромагнитных волн; это беспокойный, текущий континуум, внутренние, относительные движения которого проявляются для нас как гравитация. Массовые частицы появляются как источники или стоки этого текущего эфира. "

Для времениподобных геодезических вообще радиальное уравнение движения имеет вид

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\rho }{d\tau ^{2}}}&=-\left({\frac {f^{2}}{2}}\right)^{\mathbf {\prime } }(\rho )+(\rho -3m)\left({\frac {d\Omega }{d\tau }}\right)^{2}\\&=-{\frac {m}{r^{2}(\rho )}}+(\rho -3m)\left({\frac {d\Omega }{d\tau }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}$

Из этого видно, что

• это «растяжение» эфирного потока, измеряемое термином $-(f^{2}/2)'(\rho )$ что создает нисходящее притяжение силы тяжести,
• каждая пробная частица, чья орбита опускается настолько низко, насколько $\rho =3m$ упадет в сливное отверстие,
• есть тестовые частицы с достаточной угловой скоростью $|d\Omega /d\tau |$ чтобы уравновесить нисходящее притяжение, их орбиты (в частности, круговые) ограничиваются той частью верхней области, где $\rho >3m$,
• тяга вниз создает в верхней области ускорение по направлению к сливному отверстию, таким образом, притягивая силу тяжести, а в нижней области - ускорение в направлении от сливного отверстия, таким образом, создавая отталкивающую силу тяжести,
• тяга вниз достигает максимума, когда $r(\rho )$ является минимумом, а именно в «горловине» сливной ямы, где $\rho =2m$, и
• если $m=0,$ пробная частица может находиться в состоянии покоя (при $d\rho /d\tau =d\Omega /d\tau =0$) в любой точке космоса. (Это частный случай негравитационной дренажной ямы, известной как червоточина Эллиса .)

Проходимость

Из уравнения радиального движения ясно, что частицы, стартующие из любой точки верхней области без радиальной скорости, ( $d\rho /d\tau =0$) будет без достаточной угловой скорости $d\Omega /d\tau$, упадите через дренажное отверстие в нижнюю область. Не столь ясно, но тем не менее верно то, что пробная частица, стартовавшая из точки в нижней области, может с достаточной восходящей скоростью пройти через сливное отверстие в верхнюю область. Таким образом, дренажное отверстие «проходимо» для пробных частиц в обоих направлениях. То же самое справедливо и для фотонов.

Полный каталог геодезических данных дренажной ямы можно найти в статье Эллиса.

Отсутствие горизонтов и особенностей; геодезическая полнота

Для метрики общего вида метрики сливной ямы, при $\partial _{t}+cf(\rho )\partial _{\rho }$ как поле скоростей текущего эфира, координатные скорости $d\rho /dt$ радиальных нулевых геодезических оказываются $c(f(\rho )+1)$ для световых волн, движущихся против потока эфира, и $c(f(\rho )-1)$ для световых волн, движущихся с потоком. где угодно $f(\rho )>-1$, так что $c(f(\rho )+1)>0$, световые волны, борющиеся с потоком эфира, могут закрепиться. С другой стороны, в местах, где $f(\rho )\leq -1$ восходящие световые волны в лучшем случае могут удержаться (если $f(\rho )=-1$), или иным образом быть унесенным вниз по течению туда, куда движется эфир (если $f(\rho )<-1$). (Эту ситуацию в шутку описывает: «Людям в легких каноэ следует избегать эфирных порогов». )

Последняя ситуация видна в метрике Шварцшильда, где $\textstyle f_{\text{S}}(\rho )=-{\sqrt {2M/\rho }}\,$, что $-1$ на горизонте событий Шварцшильда, где $r_{\text{S}}(\rho )=\rho =2M$и менее $-1$ внутри горизонта, где $\rho <2M$.

Напротив, в дренажной яме $\textstyle f^{2}(\rho )<1-e^{-2m\pi /a}<1$ и $\textstyle f(\rho )=-\left[f^{2}(\rho )\right]^{1/2}>-1$, для каждого значения $\rho$, поэтому нигде нет горизонта, по одну сторону которого световые волны, борющиеся с потоком эфира, не могли бы закрепиться.

Потому что

• $r$ и $f$ определены на всей вещественной прямой, а
• $r$ ограничен от $0$ к $r(2m)$), и
• $f^{2}$ ограничен от $1$ (к ${\sqrt {1-e^{-2m\pi /a}}}$),

метрика сливной ямы не включает в себя ни «координатной сингулярности», где $1-f^{2}(\rho )\to 0$ ни «геометрической сингулярности», где $r(\rho )\to 0$, даже не асимптотические. По тем же причинам каждая геодезическая с несвязанной орбитой и с некоторым дополнительным аргументом каждая геодезическая со связанной орбитой имеет аффинную параметризацию, параметр которой простирается от $-\infty$ к $\infty$. Таким образом, дренажный коллектор является геодезически полным .

Сила отталкивания

Как было замечено ранее, растяжение эфирного потока вызывает в верхней области ускорение вниз. $-m/r^{2}(\rho )$ тестовых частиц, которые наряду с $r(\rho )\sim \rho$ как $\rho \to \infty$, идентифицирует $m$ как притягивающая гравитационная масса нелокализованной частицы дренажной скважины. В нижней области ускорение вниз формально одинаково, но поскольку $r(\rho )$ является асимптотическим для $-\rho e^{m\pi /a}$ вместо того, чтобы $-\rho$ как $\rho \to -\infty$, нельзя сделать вывод, что отталкивающая гравитационная масса частицы дренажной скважины равна $-m$.

Чтобы узнать отталкивающую массу сливной ямы, необходимо найти изометрию коллектора сливной ямы, меняющего местами верхнюю и нижнюю области. Такую изометрию можно описать следующим образом: Пусть $M_{m,n}$ обозначим дренажный коллектор, параметры которого $m$ и $n$, и $M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}$ обозначим дренажный коллектор, параметры которого ${\bar {m}}$ и ${\bar {n}}$, где

${\bar {m}}=-me^{m\pi /a}$

и

$\;\;{\bar {n}}=ne^{m\pi /a}.$

Изометрия определяет точку $M_{m,n}$ имея координаты $[T,\rho ,\vartheta ,\varphi ]$ с точки зрения $M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}$ имея координаты $[{\bar {T}},{\bar {\rho }},{\bar {\vartheta }},{\bar {\varphi }}]=[Te^{-m\pi /a},-\rho e^{m\pi /a},\vartheta ,\varphi ]$. Отсюда следует, что $M_{m,n}$ и $M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}$ на самом деле являются одним и тем же многообразием, и что нижняя область, где $\rho \to -\infty ,$ теперь замаскирован под верхнюю область, где ${\bar {\rho }}\to \infty$, имеет ${\bar {m}}$ как его гравитационная масса, таким образом, гравитационно отталкивает пробные частицы сильнее, чем их притягивает истинная верхняя область, в соотношении $\,|{\bar {m}}|/|m|=-{\bar {m}}/m=e^{m\pi /a}>1$.

Асимптотическая плоскостность

Что дренажная яма асимптотически плоская, поскольку $\rho \to \infty$ является видно из асимптотического поведения $r(\rho )\sim \rho$ и $f^{2}(\rho )\sim 2m/\rho \sim 0.$ Что оно асимптотически плоское, поскольку $\rho \to -\infty$ видно из соответствующего поведения как ${\bar {\rho }}\to \infty$ после изометрии между $M_{m,n}$ и $M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}$ описано выше.

Параметр n

В отличие от параметра $m$, интерпретируемый как притягивающая гравитационная масса водосточной ямы, параметр $n$ не имеет очевидной физической интерпретации. По сути, он фиксирует как радиус $r(2m)$ горла сливного отверстия, которое увеличивается от $n$ когда $m=0$ к $ne$ как $m\to n,$ и энергия скалярного поля $\phi ,$ который уменьшается от $n\pi /2$ когда $m=0$ к $n/2$ как $m\to n$.

По причинам, указанным в гл. 6.1 статьи 2015 года, Эллис предполагает, что $n$ каким-то образом задает инерционную массу частицы, моделируемой дренажным отверстием. Далее он пишет, что « хиггсовский » способ выразить эту идею состоит в том, чтобы сказать, что дренажная яма «приобретает» (инерционную) массу от скалярного поля. $\phi$".

Приложение

Отрицая необоснованное предположение Эйнштейна 1916 года о том, что инерционная масса является источником гравитации, Эллис приходит к новым, улучшенным уравнениям поля, решением которых является космологическая модель, которая хорошо согласуется с наблюдениями сверхновых, которые в 1998 году выявили ускорение расширения Вселенной. . В этих уравнениях присутствуют два скалярных поля, минимально связанные с геометрией пространства-времени с противоположными полярностями. « Космологическая постоянная » $\Lambda$ заменяется чистой отталкивающей плотностью гравитирующей материи, обусловленной наличием первичных дренажных «туннелей» и непрерывным созданием новых туннелей, в каждом из которых отталкивание превышает притяжение. Эти дренажные туннели, связанные с частицами видимой материи, обеспечивают их гравитацию; те, которые не связаны с видимой материей, являются невидимой « темной материей ». « Тёмная энергия » — это чистая отталкивающая плотность всех дренажных туннелей. Космологическая модель предполагает « большой отскок » вместо «большого взрыва», инфляционное ускорение после отскока и плавный переход к эпохе замедления движения по инерции, за которым в конечном итоге следует возврат к экспоненциальное расширение типа де Ситтера .

Дальнейшие применения

• Червоточина Эллиса послужила отправной точкой для создания проходимой червоточины, показанной в фильме «Интерстеллар» 2014 года (хотя модель, которая была использована в конце, существенно отличалась).
• Рассеяние червоточиной Эллиса
• Пространственное линзирование ( не гравитационное линзирование , поскольку гравитации нет) в кротовой норе Эллиса
  • Микролинзирование червоточины Эллиса
  • Волновой эффект при линзировании червоточиной Эллиса
  • Смещения центроида изображения из-за микролинзирования червоточиной Эллиса
  • Точное уравнение линзы для червоточины Эллиса
  • Линзирование червоточин