Теория Альфорса

Теория Альфорса — математическая теория, изобретенная Ларсом Альфорсом как геометрический аналог теории Неванлинны . Альфорс был награжден одной из двух первых медалей Филдса за эту теорию в 1936 году.

Его можно рассматривать как обобщение основных свойств накрывающих отображений накарты, которые являются «почти покрытиями» в некотором четко определенном смысле. Оно применимо к окаймленным римановым поверхностям, снабженным конформной римановой метрикой .

Предварительные сведения

Риманову поверхность X с краем можно определить как область на компактной римановой поверхности , граница которой ∂ X состоит из конечного числа непересекающихся жордановых кривых. В большинстве приложений эти кривые являются кусочно-аналитическими, но существует некоторое явное минимальное условие регулярности этих кривых, которое необходимо для того, чтобы теория работала; это называется регулярностью Альфорса . Конформная ( риманова метрика определяется элементом длины , который выражается в конформных локальных координатах z как ds = ρ ds z ) | dz |, где ρ — гладкая положительная функция с изолированными нулями.Если нули отсутствуют, то метрика называется гладкой. Элемент длины определяет длины спрямляемых кривых и площади областей по формулам

$\ell (\gamma )=\int _{\gamma }\rho (z)\,|dz|,\quad A(D)=\int _{D}\rho ^{2}(x+iy)\,dx\,dy,\quad z=x+iy.$

Тогда расстояние между двумя точками определяется как нижняя грань длин кривыхсоединяя эти точки.

Настройка и обозначения

Пусть X и Y — две римановы поверхности с краями, и предположим, что Y снабжена гладкой (включая границу) конформной метрикой σ ( z ) dz . Пусть f голоморфное отображение X в Y. — Тогда существует метрика возврата на X , которая определяется формулой

$\rho (z)|dz|=\sigma (f(z))|f^{\prime }(z)||dz|.\,$

Когда X снабжен этой метрикой, f становится локальной изометрией ; то есть длина кривой равна длине ее изображения. Все длины и площади по X и Y измеряются относительно этих двух показателей.

Если f переводит границу X на границу Y , то f — разветвленное накрытие . В частности,

а) Каждая точка имеет одинаковое (конечное) число прообразов с учетом кратности. Это число и есть степень покрытия.

б) формула Римана–Гурвица , в частности, эйлерова характеристика X Справедлива не превышает эйлеровой характеристики Y , умноженной на степень.

Теперь предположим, что некоторая часть границы X отображается во внутреннюю часть Y . Эта часть называется относительной границей . Пусть L — длина этой относительной границы.

Первая основная теорема

Среднее число покрытия определяется по формуле

$S={\frac {A(X)}{A(Y)}}.$

Это число является обобщением степени покрытия.Аналогично, для каждой регулярной кривой γ и для каждой регулярной области D в Y средние числа покрытия определяются:

$S(D)={\frac {A(f^{-1}(D))}{A(D)}},\quad S(\gamma )={\frac {\ell (f^{-1}(\gamma ))}{\ell (\gamma )}}.$

Первая основная теорема гласит, что для каждой регулярной области и каждой регулярной кривой

$|S-S(D)|\leq kL,\quad |S-S(\gamma )|\leq kL,$

где L — длина относительной границы, а k — константа, которая может зависеть только от Y , σ , D и γ не зависит от f и X. , но При L = 0 эти неравенства становятся слабым аналогом свойства а) накрытий.

Вторая основная теорема

Пусть ρ — отрицательная эйлерова характеристика (так что ρ = 2m − 2 для сферы с m отверстиями). Затем

$\max\{\rho (X),0\}\geq S\rho (Y)-kL,\,$

Это имеет смысл только тогда, когда ρ ( Y ) > 0, например, когда Y представляет собой сферу с тремя (или более) отверстиями. В этом случае результат можно рассматривать как обобщение свойства б) накрытий.

Приложения

Предположим теперь, что Z — открытая риманова поверхность, например комплексная плоскость или единичный круг, и пусть Z снабжена конформной метрикой ds . Мы говорим, что ( Z , ds ) регулярно исчерпаема, если существует возрастающая последовательность краевых поверхностей D _j , содержащихся в Z, с их замыканиями, объединение которых в Z , и такая, что

${\frac {\ell (\partial (D_{j}))}{A(D_{j})}}\to 0,\;j\to \infty .$

Альфорс доказал, что комплексная плоскость с произвольной конформной метрикой регулярно исчерпаема. Из этого факта вместе с двумя основными теоремами следует теорема Пикара, аВторая основная теорема теории Неванлинны . Многие другие важные обобщения ПикараТеорема может быть получена из теории Альфорса.

Одним из особенно поразительных результатов (предположенных ранее Андре Блохом ) является теорема о пяти островах .

пяти

Пусть D ₁ ,..., D ₅ — пять жордановых областей на сфере Римана с непересекающимися замыканиями. Тогда существует константа c , зависящая только от этих областей и обладающая следующим свойством:

Пусть f — мероморфная функция в единичном круге такая, что сферическая производная удовлетворяет условию

${\frac {|f'(0)|}{1+|f(0)|^{2}}}\geq c.$

Тогда существует односвязная область G, содержащаяся со своим замыканием в единичном круге, такаячто f отображает G в одну из областей D _j гомеоморфно .

Этого нельзя сказать о четырех регионах. Возьмем, например, f ( z ) = ℘( Kz ), где K > 0 сколь угодно велико, а ℘ Вейерштрасса, — эллиптическая функция удовлетворяющая дифференциальному уравнению

$(\wp ^{\prime })^{2}=4(\wp -e_{1})(\wp -e_{2})(\wp -e_{3}).$

Все прообразы четырех точек e ₁ , e ₂ , e ₃ ,∞ кратны, поэтому если мы возьмем четыре диска с непересекающимися замыканиями вокруг этих точек, то не будет ни одной области, которая гомеоморфно отображалась бы на любом из этих дисков.

Замечания

Помимо оригинальной журнальной статьи Альфорса, теория объяснена в книгах. Упрощенные доказательства Второй основной теоремы можно найти в работахТоки и де Телин.

Простое доказательство теоремы пяти островов, не опирающееся на теорию Альфорса, было развито Бергвайлером.