Тест парной разницы

Тест парных различий , более известный как парное сравнение , представляет собой тип теста местоположения , который используется при сравнении двух наборов парных измерений , чтобы оценить, различаются ли их средние значения совокупности . Тест парных разностей предназначен для ситуаций, когда существует зависимость между парами измерений (в этом случае тест, предназначенный для сравнения двух независимых выборок, не подойдет). Это применимо к дизайну внутрисубъектного исследования, т. е. к исследованию, в котором одна и та же группа субъектов подвергается обоим сравниваемым условиям.

Конкретные методы проведения парных разностных тестов включают t-критерий для парных выборок , парный Z-критерий , знаково-ранговый критерий Уилкоксона. ^[1] и другие.

Использование для уменьшения дисперсии

Парные разностные тесты для уменьшения дисперсии представляют собой особый тип блокировки . Чтобы проиллюстрировать эту идею, предположим, что мы оцениваем эффективность препарата для лечения высокого уровня холестерина. В рамках нашего исследования мы набираем 100 субъектов и измеряем уровень холестерина у каждого субъекта. Затем всех испытуемых лечат препаратом в течение шести месяцев, после чего у них снова измеряют уровень холестерина. Наш интерес заключается в том, оказывает ли препарат какое-либо влияние на средние уровни холестерина, о чем можно судить путем сравнения измерений после лечения с измерениями до лечения.

Ключевой вопрос, который мотивирует использовать парный тест на различия, заключается в том, что, если в исследовании нет очень строгих критериев входа, вполне вероятно, что субъекты будут существенно отличаться друг от друга до начала лечения. Важные исходные различия между субъектами могут быть связаны с их полом, возрастом, статусом курения, уровнем активности и диетой.

Существует два естественных подхода к анализу этих данных:

При «неспарном анализе» данные обрабатываются так, как если бы в исследование фактически было включено 200 субъектов с последующим случайным распределением 100 субъектов в каждую из экспериментальной и контрольной групп. Группа лечения в непарном дизайне будет рассматриваться как аналогичная измерениям после лечения в парном дизайне, а контрольная группа будет рассматриваться как аналогичная измерениям до лечения. Затем мы могли бы рассчитать выборочные средние значения в группах пациентов, получавших и не получавших лечение, и сравнить эти средние значения друг с другом.
При «анализе парных различий» мы сначала вычитаем значение до лечения из значения после лечения для каждого субъекта, а затем сравниваем эти различия с нулем.

Если рассматривать только средства, парный и непарный подходы дают одинаковый результат. Чтобы убедиться в этом, пусть $Y i 1, Y i 2$ будут наблюдаемыми данными для $i й$ пара, и пусть $D i = Y i 2 - Y i 1$ . Также пусть $, Y 1 и$ Y $2 обозначают$ соответственно выборочные средние значения D $i D$ , $Y i 1$ и $Y i 2$ . Переставив термины, мы увидим, что

{\bar {D}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}(Y_{i2}-Y_{i1})={\frac {1}{n}}\sum _{i}Y_{i2}-{\frac {1}{n}}\sum _{i}Y_{i1}={\bar {Y}}_{2}-{\bar {Y}}_{1},

где n — количество пар. Таким образом, средняя разница между группами не зависит от того, организуем ли мы данные в виде пар.

Хотя средняя разница одинакова для парных и непарных статистических данных, их уровни статистической значимости могут сильно различаться, поскольку дисперсию непарной статистики легко переоценить. Дисперсия $D$ равна

{\begin{aligned}{\rm {var}}({\bar {D}})&=\operatorname {var} ({\bar {Y}}_{2}-{\bar {Y}}_{1})\\&=\operatorname {var} ({\bar {Y}}_{2})+\operatorname {var} ({\bar {Y}}_{1})-2\operatorname {cov} ({\bar {Y}}_{1},{\bar {Y}}_{2})\\&=\sigma _{1}^{2}/n+\sigma _{2}^{2}/n-2\sigma _{1}\sigma _{2}\operatorname {corr} (Y_{i1},Y_{i2})/n,\end{aligned}}

где $σ 1$ и $σ 2$ — стандартные отклонения совокупности $данных Y i 1$ и $Y i 2$ соответственно. Таким образом, дисперсия $D$ существует положительная корреляция будет ниже, если внутри каждой пары . Такая корреляция очень распространена при повторных измерениях, поскольку обработка не влияет на многие факторы, влияющие на сравниваемую величину. Например, если уровни холестерина связаны с возрастом, влияние возраста приведет к положительной корреляции между уровнями холестерина, измеренными у субъектов, при условии, что продолжительность исследования невелика по сравнению с различиями в возрасте в выборке.

Мощность парного Z-теста

Предположим, мы используем Z-тест для анализа данных, где дисперсия данных до и после лечения $σ 12$ и $σ 22$ известны (ситуация с t-тестом аналогична). Непарная статистика Z-теста:

{\frac {{\bar {Y}}_{2}-{\bar {Y}}_{1}}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}/n+\sigma _{2}^{2}/n}}},

Мощность непарного одностороннего теста, проведенного на уровне $α = 0,05,$ можно рассчитать следующим образом:

{\begin{aligned}P\left({\frac {{\bar {Y}}_{2}-{\bar {Y}}_{1}}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}/n+\sigma _{2}^{2}/n}}}>1.645\right)&=P\left({\frac {{\bar {Y}}_{2}-{\bar {Y}}_{1}}{S}}>1.645{\sqrt {\sigma _{1}^{2}/n+\sigma _{2}^{2}/n}}/S\right)\\&=P\left({\frac {{\bar {Y}}_{2}-{\bar {Y}}_{1}-\delta +\delta }{S}}>1.645{\sqrt {\sigma _{1}^{2}/n+\sigma _{2}^{2}/n}}/S\right)\\&=P\left({\frac {{\bar {Y}}_{2}-{\bar {Y}}_{1}-\delta }{S}}>1.645{\sqrt {\sigma _{1}^{2}/n+\sigma _{2}^{2}/n}}/S-\delta /S\right)\\&=1-\Phi (1.645{\sqrt {\sigma _{1}^{2}/n+\sigma _{2}^{2}/n}}/S-\delta /S),\end{aligned}}

где S — стандартное отклонение D , Φ — стандартная нормальная кумулятивная функция распределения , а δ = E Y ₂ − E Y ₁ — истинный эффект лечения. Константа 1,645 — это 95-й процентиль стандартного нормального распределения, определяющий область отклонения теста.

По аналогичному расчету мощность парного Z-теста равна

1-\Phi (1.645-\delta /S).

Сравнивая выражения мощности парного и непарного тестов, можно увидеть, что парный тест имеет большую мощность, пока

{\sqrt {\sigma _{1}^{2}/n+\sigma _{2}^{2}/n}}/S={\sqrt {\frac {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}}>1{\text{ where }}\rho :=\operatorname {corr} (Y_{i1},Y_{i2}).

Это условие выполняется всякий раз, когда $\rho$ , внутрипарная корреляция положительна.

Модель случайных эффектов для парного тестирования

Следующая статистическая модель полезна для понимания теста парных разностей.

Y_{ij}=\mu _{j}+\alpha _{i}+\varepsilon _{ij}

где $α i$ — случайный эффект , который распределяется между двумя значениями в паре, а $ε ij$ — случайный шумовой термин, который независим во всех точках данных. Постоянные значения $µ 1, µ 2$ являются ожидаемыми значениями двух сравниваемых измерений, и нас интересует $δ = µ 2 - µ 1$ .

В этой модели $α i$ улавливает «стабильные искажающие факторы», которые оказывают одинаковое влияние на измерения до и после лечения. Когда мы вычитаем, чтобы сформировать $D i, α i$ сокращается, поэтому не вносит вклад в дисперсию. Внутрипарная ковариация равна

\operatorname {cov} (Y_{i1},Y_{i2})=\operatorname {var} (\alpha _{i}).

Это неотрицательное значение, поэтому оно приводит к лучшей производительности теста парных различий по сравнению с тестом непарных, если только $α i$ не является постоянным по $i$ , и в этом случае парные и непарные тесты эквивалентны.

Говоря менее математическим языком, непарный тест предполагает, что данные в двух сравниваемых группах независимы. Это предположение определяет форму дисперсии $D$ . Однако если для каждого субъекта проводятся два измерения, маловероятно, что эти два измерения будут независимыми. Если два измерения у испытуемого положительно коррелируют, непарный тест завышает дисперсию $D$ , что делает его консервативным тестом в том смысле, что фактическая вероятность ошибки типа I будет ниже номинального уровня с соответствующей потерей статистической мощности. . В редких случаях данные могут иметь отрицательную корреляцию внутри субъектов, и в этом случае непарный тест становится антиконсервативным. Парный тест обычно применяют при повторных измерениях у одних и тех же испытуемых, поскольку он имеет правильный уровень независимо от корреляции измерений внутри пар.

Использование для уменьшения путаницы

Другое применение тестирования парных различий возникает при сравнении двух групп в наборе данных наблюдений с целью изолировать эффект одного интересующего фактора от эффектов других факторов, которые могут играть роль. Например, предположим, что учителя применяют один из двух разных подходов, обозначенных «А» и «Б», к преподаванию определенной математической темы. Нас может интересовать, различаются ли результаты учащихся на стандартизированном тесте по математике в зависимости от подхода к обучению. Если учителя могут свободно применять подход А или подход Б, вполне возможно, что учителя, чьи ученики уже хорошо успевают по математике, предпочтут метод А (или наоборот). В этой ситуации простое сравнение средних результатов учащихся, обучающихся по подходам А и Б, скорее всего, покажет разницу, но эта разница частично или полностью обусловлена ранее существовавшими различиями между двумя группами учащихся. В этой ситуации базовые способности учащихся служат смешивающая переменная , поскольку они связаны как с результатом (результатами стандартизированного теста), так и с назначением лечения в соответствии с подходом А или подходом Б.

Можно уменьшить, но не обязательно устранить, влияние смешивающих переменных, сформировав «искусственные пары» и выполнив тест на парные различия. Эти искусственные пары создаются на основе дополнительных переменных, которые, как считается, играют роль искажающих факторов. При объединении в пары учащихся, чьи значения смешивающих переменных схожи, большая часть разницы в интересующем значении (например, в баллах по стандартизированному тесту в примере, рассмотренном выше) обусловлена фактором интереса, а меньшая часть обусловлена к сбивающему с толку. Формирование искусственных пар для проверки парных различий является примером общего подхода к уменьшению эффектов смешения при проведении сравнений с использованием данных наблюдений, называемых сопоставлением . ^[2]^[3]^[4]

В качестве конкретного примера предположим, что мы наблюдаем результаты тестов X учащихся по стратегиям обучения $A$ и $B$ , и каждый студент имеет либо «высокий», либо «низкий» уровень математических знаний до того, как будут реализованы две стратегии обучения. Однако мы не знаем, какие студенты относятся к «высокой» категории, а какие — к «низкой». Средние результаты тестов населения в четырех возможных группах равны ${\begin{array}{l|ll}&A&B\\\hline {\text{High}}&\mu _{HA}&\mu _{HB}\\{\text{Low}}&\mu _{LA}&\mu _{LB}\end{array}}$ а доля студентов в группах ${\begin{array}{l|ll}&A&B\\\hline {\text{High}}&p_{HA}&p_{HB}\\{\text{Low}}&p_{LA}&p_{LB}\end{array}}$ где $п HA + p HB + p LA + p LB = 1$ .

«Разница в лечении» среди студентов в «высокой» группе составляет $μ HA - μ HB$ а разница в лечении среди студентов в «низкой» группе – $μ LA - μ LB.$ , В целом возможно, что две стратегии обучения могут различаться в любом направлении или не обнаруживать различий, а эффекты могут различаться по величине или даже по знаку между «высокими» и «низкими» группами. Например, если бы стратегия Б превосходила стратегию А для хорошо подготовленных учащихся, а стратегия А превосходила бы стратегию Б для плохо подготовленных учащихся, то два различия в подходах имели бы противоположные знаки.

Поскольку мы не знаем базовые уровни учащихся, ожидаемое значение среднего результата теста $X A$ среди учащихся в группе А представляет собой среднее значение баллов на двух базовых уровнях:

E{\bar {X}}_{A}=\mu _{HA}{\frac {p_{HA}}{p_{HA}+p_{LA}}}+\mu _{LA}{\frac {p_{LA}}{p_{HA}+p_{LA}}},

и аналогичным образом средний балл по тесту $X B$ среди студентов в группе B равен

E{\bar {X}}_{B}=\mu _{HB}{\frac {p_{HB}}{p_{HB}+p_{LB}}}+\mu _{LB}{\frac {p_{LB}}{p_{HB}+p_{LB}}}.

Таким образом, ожидаемое значение наблюдаемой разницы в лечении $D = X A - X B$ равно

\mu _{HA}{\frac {p_{HA}}{p_{HA}+p_{LA}}}-\mu _{HB}{\frac {p_{HB}}{p_{HB}+p_{LB}}}+\mu _{LA}{\frac {p_{LA}}{p_{HA}+p_{LA}}}-\mu _{LB}{\frac {p_{LB}}{p_{HB}+p_{LB}}}.

Разумная нулевая гипотеза состоит в том, что эффект от лечения отсутствует ни в «высоких», ни в «низких» группах студентов, так что $μ HA = μ HB и μ LA = μ LB$ . Согласно этой нулевой гипотезе, ожидаемое значение $D$ будет равно нулю, если

p_{HA}=(p_{HA}+p_{LA})(p_{HA}+p_{HB})

и

p_{HB}=(p_{HB}+p_{LB})(p_{HA}+p_{HB}).

Это условие утверждает, что отнесение учащихся к $группам стратегии обучения A$ и $B$ не зависит от их математических знаний до того, как стратегии обучения будут реализованы. Если это так, базовые математические знания не являются помехой, и наоборот, если базовые математические знания являются помехой, ожидаемое значение $D$ обычно будет отличаться от нуля. Если ожидаемое значение $D$ при нулевой гипотезе не равно нулю, то ситуация, когда мы отвергаем нулевую гипотезу, может быть связана либо с фактическим дифференциальным эффектом между стратегиями обучения $A$ и $B$ , либо с отсутствием независимости. при отнесении студентов к $группам А$ и $Б$ (даже при полном отсутствии эффекта от стратегии обучения).

Этот пример показывает, что если мы проводим прямое сравнение между двумя группами при наличии искажающих факторов, мы не знаем, связано ли какое-либо наблюдаемое различие с самой группировкой или с каким-то другим фактором. Если мы можем объединить учащихся в пары по точному или предполагаемому показателю их базовых математических способностей, тогда мы сравниваем учащихся только «в пределах строк» таблицы средних значений, приведенной выше. Следовательно, если нулевая гипотеза верна, ожидаемое значение $D$ будет равно нулю, а уровни статистической значимости имеют свою предполагаемую интерпретацию.

См. также

Ссылки

^ Деррик, Б; Броуд, А; Тохер, Д; Уайт, П. (2017). «Влияние экстремального наблюдения на дизайн парных выборок» . Metodološki Zvezki - Достижения методологии и статистики . 14 (2): 1–17.
^ Рубин, Дональд Б. (1973). «Сопоставление для устранения систематической ошибки в наблюдательных исследованиях». Биометрия . 29 (1): 159–183. дои : 10.2307/2529684 . JSTOR 2529684 .
^ Андерсон, Даллас В.; Киш, Лесли; Корнелл, Ричард Г. (1980). «О стратификации, группировке и сопоставлении». Скандинавский статистический журнал . 7 (2). Издательство Блэквелл: 61–66. JSTOR 4615774 .
^ Куппер, Лоуренс Л.; Карон, Джон М.; Кляйнбаум, Дэвид Г.; Моргенштерн, Хэл; Льюис, Дональд К. (1981). «Сопоставление эпидемиологических исследований: соображения обоснованности и эффективности». Биометрия . 37 (2): 271–291. CiteSeerX 10.1.1.154.1197 . дои : 10.2307/2530417 . JSTOR 2530417 . ПМИД 7272415 .

Внешние ссылки

[outie-1] Деррик, Б; Броуд, А; Тохер, Д; Уайт, П. (2017). «Влияние экстремального наблюдения на дизайн парных выборок» . Metodološki Zvezki - Достижения методологии и статистики . 14 (2): 1–17.

[2] Рубин, Дональд Б. (1973). «Сопоставление для устранения систематической ошибки в наблюдательных исследованиях». Биометрия . 29 (1): 159–183. дои : 10.2307/2529684 . JSTOR 2529684 .

[3] Андерсон, Даллас В.; Киш, Лесли; Корнелл, Ричард Г. (1980). «О стратификации, группировке и сопоставлении». Скандинавский статистический журнал . 7 (2). Издательство Блэквелл: 61–66. JSTOR 4615774 .

[4] Куппер, Лоуренс Л.; Карон, Джон М.; Кляйнбаум, Дэвид Г.; Моргенштерн, Хэл; Льюис, Дональд К. (1981). «Сопоставление эпидемиологических исследований: соображения обоснованности и эффективности». Биометрия . 37 (2): 271–291. CiteSeerX 10.1.1.154.1197 . дои : 10.2307/2530417 . JSTOR 2530417 . ПМИД 7272415 .

[1]

[2]

[3]

[4]