Радиодром

В геометрии радиодром , — это кривая преследования за которой следует точка, преследующая другую линейно движущуюся точку. Термин произошел от латинского слова радиус (англ. луч; спица) и греческого слова дромос (англ. бег; беговая дорожка), ибо в его кинематическом анализе присутствует радиальная составляющая. Классическая (и самая известная) форма радиодрома известна как «собачья кривая»; Это путь, которым следует собака, переплывая поток с течением после чего-то, что она заметила на другом берегу. Поскольку собаку несет течение, ей придется изменить курс; ему также придется плыть дальше, чем если бы он выбрал оптимальный курс. Этот случай описал Пьер Бугер в 1732 году.

Альтернативно радиодром можно описать как путь, по которому следует собака, преследуя зайца, предполагая, что заяц бежит по прямой с постоянной скоростью.

Путь собаки, преследующей зайца, бегущей по вертикальной прямой с постоянной скоростью. Собака бежит к месту, где в данный момент находится заяц, и будет постоянно менять направление.

Математический анализ

Ввести систему координат с началом координат в положении собаки во времени.ноль и по оси y в направлении движения зайца с константойскорость V _т . Положение зайца в нулевой момент времени равно ( A _x , A _y ) с A _x > 0 , а в момент t оно равно

$(T_{x}\ ,\ T_{y})\ =\ (A_{x}\ ,\ A_{y}+V_{t}t)~.$ ( 1 )

Собака бежит с постоянной скоростью V _d в направлении мгновенного положения зайца.

Дифференциальное уравнение, соответствующее движению собаки, ( x ( t ), y ( t )) , следовательно, имеет вид

${\dot {x}}=V_{d}\ {\frac {T_{x}-x}{\sqrt {(T_{x}-x)^{2}+(T_{y}-y)^{2}}}}$ ( 2 )

${\dot {y}}=V_{d}\ {\frac {T_{y}-y}{\sqrt {(T_{x}-x)^{2}+(T_{y}-y)^{2}}}}~.$ ( 3 )

Можно получить аналитическое выражение в замкнутой форме y = f ( x ) для движения собаки.Из ( 2 ) и ( 3 ) следует, что

$y'(x)={\frac {T_{y}-y}{T_{x}-x}}$ . ( 4 )

Умножив обе части на $T_{x}-x$ и взяв производную по x , используя это

${\frac {dT_{y}}{dx}}\ =\ {\frac {dT_{y}}{dt}}\ {\frac {dt}{dx}}\ =\ {\frac {V_{t}}{V_{d}}}\ {\sqrt {{y'}^{2}+1}}~,$ ( 5 )

каждый получает

$y''={\frac {V_{t}\ {\sqrt {1+{y'}^{2}}}}{V_{d}(A_{x}-x)}}$ ( 6 )

или

${\frac {y''}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}}={\frac {V_{t}}{V_{d}(A_{x}-x)}}~.$ ( 7 )

Из этого соотношения следует, что

$\sinh ^{-1}(y')=B-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}\ \ln(A_{x}-x)~,$ ( 8 )

где B — константа интегрирования, определяемая начальным значением y ' в нулевой момент времени, y' (0) = sinh( B - ( V _t /V _d ) ln A _x ) , т.е.

$B={\frac {V_{t}}{V_{d}}}\ \ln(A_{x})+\ln \left(y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right).$ ( 9 )

Из ( 8 ) и ( 9 ) после некоторых вычислений следует, что

$y'={\frac {1}{2}}\left[\left(y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}+\left(y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{\frac {V_{t}}{V_{d}}}\right]$ . ( 10 )

Кроме того, поскольку y (0)=0 следует , из ( 1 ) и ( 4 ) , что

$y'(0)={\frac {A_{y}}{A_{x}}}$ . ( 11 )

Если теперь V _t ≠ V _d , соотношение ( 10 ) интегрируется к

$y=C-{\frac {A_{x}}{2}}\left[{\frac {\left(y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}+{\frac {\left(y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\right],$ ( 12 )

где C — константа интегрирования. Поскольку снова y (0)=0 , это

$C={\frac {A_{x}}{2}}\left[{\frac {y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}+{\frac {y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\right]$. ( 13 )

уравнения ( 11 ), ( 12 ) и ( 13 Тогда ) вместе подразумевают

$y={\frac {1}{2}}\left\{{\frac {A_{y}+{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\left[1-\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}\right]+{\frac {A_{y}-{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\left[1-\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}\right]\right\}$ . ( 14 )

Если V _t = V _d , соотношение ( 10 ) вместо этого дает

$y=C-{\frac {A_{x}}{2}}\left[\left(y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\ln \left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{2}\right]$ . ( 15 )

Используя y (0)=0 еще раз, следует, что

$C={\frac {A_{x}}{4}}\left(y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right).$ ( 16 )

уравнения ( 11 ), ( 15 ) и ( 16 Тогда ) вместе означают, что

$y={\frac {1}{4}}\left(A_{y}-{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}\right)\left[1-\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{2}\right]-{\frac {1}{2}}\left(A_{y}+{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}\right)\ln \left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)$ . ( 17 )

Если V _t < V _d , то из ( 14 ) следует, что

$\lim _{x\to A_{x}}y(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {A_{y}+{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}+{\frac {A_{y}-{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\right).$ ( 18 )

Если V _t ≥ V _d , из ( 14 ) и ( 17 ) следует, что $\lim _{x\to A_{x}}y(x)=\infty$, а это значит, что заяц никогда не будет пойман, когда бы ни началась погоня.

См. также

• Проблема с мышами

Ссылки

• Нахин, Пол Дж. (2012), Погони и побеги: математика преследования и уклонения , Принстон: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-12514-5 .
• Гомеш Тейшера, Франциско (1909), Imprensa da universidade (ред.), Трактат о замечательных особых кривых , том. 2, Коимбра, с. 255 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )