Пропорция (математика)

Пропорция – это математическое утверждение , выражающее равенство двух отношений .

$a:b=c:d$

a и d называются крайними значениями , b и c — средними .

Пропорцию можно записать как ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, где отношения выражены в виде дробей .

Такая пропорция называется геометрической пропорцией . не путать с арифметической пропорцией и гармонической пропорцией .

Свойства пропорций

• Основное правило пропорции. Это правило иногда называют свойством среднего-крайнего значения . Если отношения выражаются в виде дробей, то то же правило можно сформулировать в терминах равенства «перекрестных произведений». и называется свойством перекрестных продуктов .

Если $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, затем $\ ad=bc$

• Если $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, затем $\ {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}$
• Если $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, затем

$\ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}$,

$\ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}$.

• Если $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, затем

$\ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}$,

$\ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}$.

• Если $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, затем

$\ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$,

$\ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$.

История

Греческий . математик Евдокс дал определение значению равенства между двумя отношениями Это определение пропорции является предметом пятой книги Евклида, где мы можем прочитать:

Говорят, что величины находятся в одном и том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, когда, если взять какое-либо равнократное из первой и третьей, а также любое равнократное из второго и четвертого, то первые равнократные одинаково превышают , одинаково равны или одинаково не равны последним эквикратным, взятым соответственно в соответствующем порядке.

Позднее осознание того, что отношения — это числа, позволило перейти от решения пропорций к уравнениям , а от преобразования пропорций — к алгебраическим преобразованиям.

Связанные понятия

Арифметическая пропорция

Уравнение вида $a-b=c-d$ называется арифметической пропорцией или разностной пропорцией .

Гармоническая пропорция

Основная статья: Золотое сечение

Если средние значения геометрической пропорции равны, а крайний правый крайний равен разнице между крайним левым крайним и средним, то такая пропорция называется гармонической : $a:b=b:(a-b)$. В этом случае соотношение $a:b$ называется золотым сечением .

См. также

• Соотношение
• Пропорциональность
• Корреляция