QM-AM-GM-HM неравенства

В математике неравенства QM -AM-GM-HM , также известные как цепочка среднего неравенства , устанавливают связь между средним гармоническим , средним геометрическим , средним арифметическим и средним квадратичным (также известным как среднеквадратичное). Предположим, что $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ являются положительными действительными числами . Затем

0<{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}.

^[1]

Эти неравенства часто встречаются в математических соревнованиях и находят применение во многих областях науки.

Доказательство

Между средствами доказательства существует три неравенства. Существуют различные методы доказательства неравенств, включая математическую индукцию , неравенство Коши-Шварца , множители Лагранжа и неравенство Йенсена . Несколько доказательств того, что GM ≤ AM, см. в разделе «Неравенство средних арифметических и геометрических» .

Неравенство AM-QM

Из неравенства Коши – Шварца для действительных чисел , присваивая одному вектору значение $(1, 1, ...)$ :

\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot 1\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}1^{2}\right)=n\,\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2},

следовательно

\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)^{2}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n}}

. Для позитива

x_{i}

квадратный корень из этого дает неравенство.

Неравенство HM-GM

Обратная величина гармонического среднего — это среднее арифметическое обратных величин. $1/x_{1},\dots ,1/x_{n}$ , и это превышает $1/{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}$ по неравенству AM-GM. $x_{i}>0$ следует неравенство:

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}.

^[2]

Случай n = 2

Когда n = 2, неравенства принимают вид

{\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}\leq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}}}

для всех

x_{1},x_{2}>0,

^[3]

можно представить в виде полукруга с диаметром [ AB ] и центром D. который

Предположим, AC = x ₁ и BC = x ₂ . Постройте перпендикуляры к [ AB ] в точках D и C соответственно. Соедините [ CE ] и [ DF ] и далее постройте перпендикуляр [ CG ] к [ DF ] в G. точке Тогда длину GF можно вычислить как среднее гармоническое, CF как среднее геометрическое, DE как среднее арифметическое и CE как среднее квадратичное. Тогда неравенства легко следуют из теоремы Пифагора .

Тесты

Чтобы определить правильный порядок, четыре выражения можно оценить с помощью двух положительных чисел.

Для $x_{1}=10$ и $x_{2}=40$ в частности, это приводит к $16<20<25<5{\sqrt {34}}$ .

См. также

Ссылки

^ Джукич, Душан (2011). Сборник ИМО: сборник задач, предложенных для международных математических олимпиад 1959–2009 гг . Задачи по математике. Международная математическая олимпиада. Нью-Йорк: Спрингер. п. 7. ISBN 978-1-4419-9854-5 .
^ Седракян, Айк; Седракян, Наири (2018), Седракян, Айк; Седракян, Наири (ред.), «Неравенства HM-GM-AM-QM» , «Алгебраические неравенства » , задачники по математике, Cham: Springer International Publishing, стр. 23, номер домена : 10.1007/978-3-319-77836-5_3 , ISBN 978-3-319-77836-5 , получено 26 ноября 2023 г.
^ Седракян, Айк; Седракян, Наири (2018), Седракян, Айк; Седракян, Наири (ред.), «Неравенства HM-GM-AM-QM» , «Алгебраические неравенства » , задачники по математике, Cham: Springer International Publishing, стр. 21, номер домена : 10.1007/978-3-319-77836-5_3 , ISBN 978-3-319-77836-5 , получено 26 ноября 2023 г.

Внешние ссылки

Неравенства HM-GM-AM-QM
Полезная шпаргалка по неравенствам. Запись «средство» справа на странице 1.

[1] Джукич, Душан (2011). Сборник ИМО: сборник задач, предложенных для международных математических олимпиад 1959–2009 гг . Задачи по математике. Международная математическая олимпиада. Нью-Йорк: Спрингер. п. 7. ISBN 978-1-4419-9854-5 .

[2] Седракян, Айк; Седракян, Наири (2018), Седракян, Айк; Седракян, Наири (ред.), «Неравенства HM-GM-AM-QM» , «Алгебраические неравенства » , задачники по математике, Cham: Springer International Publishing, стр. 23, номер домена : 10.1007/978-3-319-77836-5_3 , ISBN 978-3-319-77836-5 , получено 26 ноября 2023 г.

[3] Седракян, Айк; Седракян, Наири (2018), Седракян, Айк; Седракян, Наири (ред.), «Неравенства HM-GM-AM-QM» , «Алгебраические неравенства » , задачники по математике, Cham: Springer International Publishing, стр. 21, номер домена : 10.1007/978-3-319-77836-5_3 , ISBN 978-3-319-77836-5 , получено 26 ноября 2023 г.

[1]

[2]

[3]