Принцип гоночной трассы

В исчислении , принцип ипподрома описывает движение и рост двух функций через их производные .

Этот принцип вытекает из того факта, что если лошадь по имени Фрэнк Флитфут всегда бежит быстрее, чем лошадь по имени Грег Гуслег, то если Фрэнк и Грег начнут забег из одного и того же места и в одно и то же время, то Фрэнк победит. Короче говоря, побеждает та лошадь, которая быстро стартует и остается быстрой.

В символах:

если $f'(x)>g'(x)$ для всех $x>0$, и если $f(0)=g(0)$, затем $f(x)>g(x)$ для всех $x>0$.

или замена ≥ на > дает теорему

если $f'(x)\geq g'(x)$ для всех $x>0$, и если $f(0)=g(0)$, затем $f(x)\geq g(x)$ для всех $x\geq 0$.

что можно доказать аналогичным образом

Доказательство

Этот принцип можно доказать, рассмотрев функцию $h(x)=f(x)-g(x)$. Если бы мы взяли производную, мы бы заметили, что для $x>0$,

$h'=f'-g'>0.$

Также обратите внимание, что $h(0)=0$. Объединив эти наблюдения, мы можем использовать теорему о среднем значении на интервале $[0,x]$ и получить

$0<h'(x_{0})={\frac {h(x)-h(0)}{x-0}}={\frac {f(x)-g(x)}{x}}.$

По предположению, $x>0$, поэтому умножив обе части на $x$ дает $f(x)-g(x)>0$. Это подразумевает $f(x)>g(x)$.

Обобщения

Утверждение принципа ипподрома можно слегка обобщить следующим образом;

если $f'(x)>g'(x)$ для всех $x>a$, и если $f(a)=g(a)$, затем $f(x)>g(x)$ для всех $x>a$.

как и выше, замена ≥ на > дает теорему

если $f'(x)\geq g'(x)$ для всех $x>a$, и если $f(a)=g(a)$, затем $f(x)\geq g(x)$ для всех $x>a$.

Доказательство

Это обобщение можно доказать на основе принципа ипподрома следующим образом:

Рассмотрим функции $f_{2}(x)=f(x+a)$ и $g_{2}(x)=g(x+a)$.При условии $f'(x)>g'(x)$ для всех $x>a$, и $f(a)=g(a)$,

$f_{2}'(x)>g_{2}'(x)$ для всех $x>0$, и $f_{2}(0)=g_{2}(0)$, что в соответствии с приведенным выше доказательством принципа ипподрома означает $f_{2}(x)>g_{2}(x)$ для всех $x>0$ так $f(x)>g(x)$ для всех $x>a$.

Приложение

Принцип ипподрома можно использовать для доказательства леммы, необходимой для того, чтобы показать, что показательная функция растет быстрее, чем любая степенная функция. Требуемая лемма состоит в том, что

$e^{x}>x$

для всех реально $x$. Это очевидно для $x<0$ но принцип ипподрома можно использовать для $x>0$. Чтобы увидеть, как он используется, мы рассмотрим функции

$f(x)=e^{x}$

и

$g(x)=x+1.$

Обратите внимание, что $f(0)=g(0)$ и это

$e^{x}>1$

поскольку показательная функция всегда возрастает ( монотонно ), поэтому $f'(x)>g'(x)$. Таким образом, по принципу гоночной трассы $f(x)>g(x)$. Таким образом,

$e^{x}>x+1>x$

для всех $x>0$.

Ссылки

• Дебора Хьюз-Халлет и др., Исчисление .