Гипотеза Касаса-Альверо

В математике гипотеза Касаса -Альверо — открытая проблема о многочленах , имеющих общие факторы со своими производными , предложенная Эдуардо Касасом-Альверо в 2001 году.

Официальное заявление

Пусть f — многочлен степени d, определенный над полем K характеристики нулевой . Если f имеет общий множитель с каждой из его производных f ^{( я )}, i = 1, ..., d − 1, то гипотеза предсказывает, что f должна быть степенью линейного многочлена.

Аналог с ненулевой характеристикой

Гипотеза неверна над полем характеристики p : любой неразделимый многочлен f ( X ^п) без постоянного члена удовлетворяет условию, поскольку все производные равны нулю. Другой контрпример (который отделим) — X ^{р +1} − Х ^п.

Особые случаи

Известно, что гипотеза справедлива в нулевой характеристике для степеней вида p ^к или 2 п. ^к где p — простое число, а k — целое положительное число. Аналогично известны степени вида 3 p ^к где p ≠ 2, для степеней вида 4 p ^к где p ≠ 3, 5, 7, а для степеней вида 5 p ^к где p ≠ 2, 3, 7, 11, 131, 193, 599, 3541, 8009. Аналогичные результаты имеются для степеней вида 6 p ^к и 7 п. ^к. Недавно он был установлен для d = 12, что делает d = 20 наименьшей степенью открытия.

Ссылки

Касас-Альверо, Эдуардо (2001). «Полярные микробы высшего порядка» . Дж. Алгебра . 240 (1): 326–337. дои : 10.1006/jabr.2000.8727 . ISSN 0021-8693 . Збл 0985.14012 .
Диас-Тока, Хема М.; Гонсалес-Вега, Лауреано (2006). «Об анализе гипотезы об одномерных многочленах и их корнях с помощью Maple». В Коциреасе, Илиас (ред.). Конференция Maple 2006. Материалы конференции, Ватерлоо, Онтарио, Канада, 23–26 июля 2006 г. Ватерлоо: Maplesoft . стр. 81–98. ISBN 1-897310-13-7 . Збл 1108.65046 .
Граф фон Ботмер, Ганс-Кристиан; Лаборатории, Оливер; Шичо, Йозеф; ван де Вестейн, Кристиан (2007). «Гипотеза Касаса-Альверо для бесконечного числа степеней». Дж. Алгебра . 316 (1): 224–230. arXiv : математика/0605090 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2007.06.017 . S2CID 11623853 . Збл 1127.12002 .
Драйсма, Ян; де Йонг, Йохан П. (2011). «О гипотезе Касаса-Альверо» (PDF) . Евро. Математика. Соц. Новости 80 : 29–33. ISSN 1027-488X . Збл 1292.12001 . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г.
Кастрик, Воутер; Латервир, Роберт; Унайес, Мириам (2012). «Ограничения на контрпримеры к гипотезе Касаса-Альверо и проверка в степени 12». arXiv : 1208.5404 [ math.AG ].