Вейвлет Мейера

Спектр вейвлета Мейера (вычисленный численно).

Вейвлет Мейера — это ортогональный вейвлет, предложенный Ивом Мейером . Как тип непрерывного вейвлета , он применялся в ряде случаев, например, в адаптивных фильтрах . фрактальные случайные поля , и классификация множественных разломов.

Вейвлет Мейера бесконечно дифференцируем с бесконечной поддержкой и определен в частотной области через функцию $\nu$ как

$\Psi (\omega ):={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}\nu \left({\frac {3|\omega |}{2\pi }}-1\right)\right)e^{j\omega /2}&{\text{if }}2\pi /3<|\omega |<4\pi /3,\\{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}\nu \left({\frac {3|\omega |}{4\pi }}-1\right)\right)e^{j\omega /2}&{\text{if }}4\pi /3<|\omega |<8\pi /3,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}$

где

$\nu (x):={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0,\\x&{\text{if }}0<x<1,\\1&{\text{if }}x>1.\end{cases}}$

Существует много разных способов определения этой вспомогательной функции, которая дает варианты вейвлета Мейера.Например, другая стандартная реализация принимает

$\nu (x):={\begin{cases}x^{4}(35-84x+70x^{2}-20x^{3})&{\text{if }}0<x<1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Функция масштаба Мейера (вычисленная численно)

Функция масштаба Мейера определяется выражением

$\Phi (\omega ):={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}&{\text{if }}|\omega |<2\pi /3,\\{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}\nu \left({\frac {3|\omega |}{2\pi }}-1\right)\right)&{\text{if }}2\pi /3<|\omega |<4\pi /3,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Во временной области форма материнского вейвлета Мейера имеет форму, показанную на следующем рисунке:

форма вейвлета Мейера (вычисленная численно)

Закрытые выражения

Валенсуэла и де Оливейра дайте явные выражения вейвлетов Мейера и масштабных функций:

$\phi (t)={\begin{cases}{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{3\pi }}&t=0,\\{\frac {\sin({\frac {2\pi }{3}}t)+{\frac {4}{3}}t\cos({\frac {4\pi }{3}}t)}{\pi t-{\frac {16\pi }{9}}t^{3}}}&{\text{otherwise}},\end{cases}}$

и

$\psi (t)=\psi _{1}(t)+\psi _{2}(t),$

где

$\psi _{1}(t)={\frac {{\frac {4}{3\pi }}(t-{\frac {1}{2}})\cos[{\frac {2\pi }{3}}(t-{\frac {1}{2}})]-{\frac {1}{\pi }}\sin[{\frac {4\pi }{3}}(t-{\frac {1}{2}})]}{(t-{\frac {1}{2}})-{\frac {16}{9}}(t-{\frac {1}{2}})^{3}}},$

$\psi _{2}(t)={\frac {{\frac {8}{3\pi }}(t-{\frac {1}{2}})\cos[{\frac {8\pi }{3}}(t-{\frac {1}{2}})]+{\frac {1}{\pi }}\sin[{\frac {4\pi }{3}}(t-{\frac {1}{2}})]}{(t-{\frac {1}{2}})-{\frac {64}{9}}(t-{\frac {1}{2}})^{3}}}.$

Ссылки

• Добеши, Ингрид (сентябрь 1992 г.). Десять лекций по вейвлетам (серия конференций CBMS-NSF по прикладной математике) (изд. SIAM). Спрингер-Верлаг. стр. 117–119, 137–138, 152–155 . ISBN  978-0-89871-274-2 .

Внешние ссылки

• набор инструментов вейвлета
• Реализация Матлаба