Случайное поле

В физике и математике случайное поле — это случайная функция в произвольной области (обычно многомерном пространстве, таком как $\mathbb {R} ^{n}$ ). То есть это функция $f(x)$ который принимает случайное значение в каждой точке $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (или какой-то другой домен). Его также иногда считают синонимом случайного процесса с некоторым ограничением на набор индексов. То есть, согласно современным определениям, случайное поле является обобщением случайного процесса , в котором базовый параметр больше не обязательно должен быть вещественным или целочисленным «временем», а вместо этого может принимать значения, которые являются многомерными векторами или точками на некотором многообразии . ^[1]

Формальное определение

Учитывая вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ , случайное поле со значением X представляет собой набор X, со значением случайных величин индексированных элементами в топологическом пространстве T . То есть случайное поле F представляет собой набор

\{F_{t}:t\in T\}

где каждый $F_{t}$ является X. случайной величиной со значением

Примеры

В дискретном варианте случайное поле представляет собой список случайных чисел, индексы которых отождествляются с дискретным набором точек пространства (например, n- мерного евклидова пространства ). Предположим, что имеются четыре случайные величины: $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ , и $X_{4}$ , расположенный в двумерной сетке в точках (0,0), (0,2), (2,2) и (2,0) соответственно. Предположим, что каждая случайная величина может принимать значение -1 или 1, и вероятность значения каждой случайной величины зависит от ее непосредственно соседних соседей. Это простой пример дискретного случайного поля.

В более общем плане значения каждого $X_{i}$ может принимать форму, может быть определена в непрерывной области. В более крупных сетках также может быть полезно рассматривать случайное поле как случайную величину со значением функции, как описано выше. В квантовой теории поля это понятие обобщается на случайный функционал , который принимает случайные значения в пространстве функций (см. Интеграл Фейнмана ).

Существует несколько видов случайных полей, среди них случайное поле Маркова (MRF), случайное поле Гиббса , условное случайное поле (CRF) и гауссово случайное поле . В 1974 году Джулиан Бесаг предложил метод аппроксимации, основанный на связи между MRF и RF Гиббса. ^{[ нужна ссылка ]}

Примеры свойств

MRF демонстрирует свойство Маркова.

P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,

для каждого выбора значений $(x_{j})_{j}$ . Здесь каждый $\partial _{i}$ множество соседей $i$ . Другими словами, вероятность того, что случайная величина примет значение, зависит от ближайших соседних случайных величин. Вероятность случайной величины в MRF ^{[ нужны разъяснения ]} дается

P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},

где сумма (может быть целым числом) равна возможным значениям k. ^{[ нужны разъяснения ]} Иногда бывает трудно точно вычислить эту величину.

Приложения

При использовании в естественных науках значения в случайном поле часто пространственно коррелируют. Например, соседние значения (т.е. значения с соседними индексами) не отличаются так сильно, как значения, находящиеся дальше друг от друга. Это пример ковариационной структуры, множество различных типов которой можно смоделировать в случайном поле. Одним из примеров является модель Изинга , в которую иногда взаимодействия ближайших соседей включаются только в качестве упрощения, чтобы лучше понять модель.

Обычно случайные поля используются при создании компьютерной графики, особенно той, которая имитирует естественные поверхности, такие как вода и земля . Случайные поля также использовались в моделях недр, как в ^[2]

В нейробиологии , особенно в функциональной визуализации мозга, связанных с задачами, исследованиях с использованием ПЭТ или фМРТ , статистический анализ случайных полей является одной из распространенных альтернатив коррекции множественных сравнений для поиска областей с действительно значимой активацией. ^[3] В более общем смысле, случайные поля можно использовать для коррекции эффекта поиска в другом месте при статистическом тестировании, где домен представляет собой пространство параметров, в котором осуществляется поиск. ^[4].

Они также используются в машинного обучения приложениях (см. графические модели ).

Тензорные случайные поля

Случайные поля находят большое применение при изучении природных процессов методом Монте-Карло , в котором случайные поля соответствуют естественно изменяющимся в пространстве свойствам. Это приводит к тензорным случайным полям ^{[ нужны разъяснения ]} в котором ключевую роль играет элемент статистического объема (СВЭ), представляющий собой пространственный прямоугольник, по которому можно усреднить свойства; когда SVE становится достаточно большим, его свойства становятся детерминированными, и можно восстановить представительный элемент объема (RVE) детерминированной физики сплошной среды. Второй тип случайных полей, появляющийся в теориях континуума, — это поля зависимых величин (температура, смещение, скорость, деформация, вращение, объемные и поверхностные силы, напряжение и т. д.). ^[5]^{[ нужны разъяснения ]}

См. также

Ссылки

^ Ванмарке, Эрик (2010). Случайные поля: анализ и синтез . Мировое научное издательство. ISBN 978-9812563538 .
^ Карденас, IC (2023). «Двумерный подход к количественной оценке стратиграфической неопределенности по скважинным данным с использованием неоднородных случайных полей» . Инженерная геология . дои : 10.1016/j.enggeo.2023.107001 .
^ Уорсли, К.Дж.; Эванс, AC; Марретт, С.; Нилин, П. (ноябрь 1992 г.). «Трехмерный статистический анализ исследований активации CBF в человеческом мозге» . Журнал церебрального кровотока и метаболизма . 12 (6): 900–918. дои : 10.1038/jcbfm.1992.127 . ISSN 0271-678X . ПМИД 1400644 .
^ Вителлс, Офер; Гросс, Эйлам (2011). «Оценка значимости сигнала в многомерном поиске». Астрофизика частиц . 35 : 230–234. arXiv : 1105.4355 . doi : 10.1016/j.astropartphys.2011.08.005 .
^ Маляренко Анатолий; Остоя-Старжевски, Мартин (2019). Тензорные случайные поля для физики сплошных сред . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781108429856 .

Дальнейшее чтение

Адлер, Р.Дж. и Тейлор, Джонатан (2007). Случайные поля и геометрия . Спрингер. ISBN 978-0-387-48112-8 .
Бесаг, Дж. Э. (1974). «Пространственное взаимодействие и статистический анализ решетчатых систем». Журнал Королевского статистического общества . Серия Б. 36 (2): 192–236. дои : 10.1111/j.2517-6161.1974.tb00999.x .
Гриффит, Дэвид (1976). «Случайные поля». В Кемени, Джон Г .; Снелл, Лори ; Кнапп, Энтони В. (ред.). Счетные цепи Маркова (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-90177-9 .
Давар Хошневисан (2002). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля . Спрингер. ISBN 0-387-95459-7 .

[1] Ванмарке, Эрик (2010). Случайные поля: анализ и синтез . Мировое научное издательство. ISBN 978-9812563538 .

[2] Карденас, IC (2023). «Двумерный подход к количественной оценке стратиграфической неопределенности по скважинным данным с использованием неоднородных случайных полей» . Инженерная геология . дои : 10.1016/j.enggeo.2023.107001 .

[3] Уорсли, К.Дж.; Эванс, AC; Марретт, С.; Нилин, П. (ноябрь 1992 г.). «Трехмерный статистический анализ исследований активации CBF в человеческом мозге» . Журнал церебрального кровотока и метаболизма . 12 (6): 900–918. дои : 10.1038/jcbfm.1992.127 . ISSN 0271-678X . ПМИД 1400644 .

[4] Вителлс, Офер; Гросс, Эйлам (2011). «Оценка значимости сигнала в многомерном поиске». Астрофизика частиц . 35 : 230–234. arXiv : 1105.4355 . doi : 10.1016/j.astropartphys.2011.08.005 .

[5] Маляренко Анатолий; Остоя-Старжевски, Мартин (2019). Тензорные случайные поля для физики сплошных сред . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781108429856 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Случайные процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Процесс ветвления процесс в китайском ресторане Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайное блуждание Петля стерта Самоизбегание Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессельский процесс Процесс рождения-смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Броуновское движение Дайсона Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга-Вио Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хоукса Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц Это распространится Ито-процесс Прыжковая диффузия Процесс перехода Процесс Леви Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингалы Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсионный гамма-процесс Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссов процесс Скрытая модель Маркова (HMM) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины Белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссово случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле перколяция Процесс Питмана-Йора Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Авторегрессионная (AR) модель Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Черный–Дерман–Игрушка Блэк – Карасински Блэк – Скоулз Чан – Каройи – Лонгстафф – Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность отклонения (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман-Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Хестон Хо-Ли Корпус – Белый Корн-Креер-Ленссен рынок ЛИБОР Рендлман-Барттер Волатильность SABR Ваш Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Процесс риска Спарре-Андерсон
Модели массового обслуживания	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания М/Г/1 М/М/1 М/М/с
Характеристики	Каталог путей Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Сменный Феллер-непрерывный Гаусс–Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы о мартингальной сходимости Дуба Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпетта – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый/сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля и единицы ( Блюменталь , Борель-Кантелли , Энгельберт-Шмидт , Хьюитт-Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Беркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкросс Дуба Кунита – Ватанабэ Марцинкевич–Зигмунд
Инструменты	Формула Кэмерона-Мартина Сходимость случайных величин Экспонента Долеана-Дада Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Необязательная теорема Дуба об остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Бесконечно-малый генератор Его интеграл Лемма Ито Теорема Карунена – Лёва Теорема Колмогорова о непрерывности Теорема Колмогорова о продолжении Метрика Леви – Прохора Исчисление Маллявена Теорема о мартингальном представлении Необязательная теорема об остановке Prokhorov's theorem Квадратичная вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теория представлений Скорохода Skorokhod space Снелл конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Остановка времени Stratonovich integral Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винерское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятностей Теория массового обслуживания Теория обновления Теория руин Обработка сигналов Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория