Взвешенная по времени доходность

Взвешенная по времени доходность (TWR) ^[1]^[2] — это метод расчета доходности инвестиций , при котором доходность за подпериоды суммируется , при этом каждый подпериод взвешивается в соответствии с его продолжительностью.Временной метод отличается от других методов расчета доходности инвестиций тем, что он компенсирует внешние потоки.

Внешние потоки

Взвешенная по времени доходность — это мера исторической эффективности инвестиционного портфеля, которая компенсирует внешние потоки . Внешние потоки — это чистое движение стоимости в портфель или из него, происходящее в результате перевода денежных средств, ценных бумаг или других финансовых инструментов. Эти потоки характеризуются отсутствием одновременных, равных и противоположных по стоимости транзакций, в отличие от того, что происходит при покупках или продажах. Более того, они не происходят из доходов, полученных от инвестиций в портфель, таких как проценты, купоны или дивиденды.

Для компенсации внешних потоков общий анализируемый интервал времени делится на смежные подпериоды в каждый момент времени в пределах общего периода времени, когда существует внешний поток. Как правило, эти подпериоды будут иметь неравную продолжительность. Доходы за подпериоды между внешними потоками связаны между собой геометрически (сложно), т.е. путем умножения факторов роста во всех подпериодах. Коэффициент роста в каждом подпериоде равен 1 плюс доходность за этот подпериод.

Проблема внешних потоков

Чтобы проиллюстрировать проблему внешних потоков, рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Предположим, инвестор переводит 500 долларов в портфель в начале первого года и еще 1000 долларов в начале года 2, а общая стоимость портфеля в конце года 2 составляет 1500 долларов. Чистая прибыль за два года период равен нулю, поэтому интуитивно мы можем ожидать, что доходность за весь двухлетний период составит 0% (что, кстати, является результатом применения одного из методов, взвешенных по деньгам). Если игнорировать денежный поток в размере 1000 долларов США в начале второго года, то простой метод расчета доходности без компенсации потока составит 200% (1000 долларов США разделить на 500 долларов США). Интуитивно, 200% неверно.

Однако если мы добавим дополнительную информацию, то вырисовывается иная картина. Если первоначальные инвестиции выросли в стоимости на 100% в течение первого года, но затем портфель снизился на 25% в течение второго года, мы ожидаем, что общий доход за двухлетний период будет результатом накопления 100% прироста ( 500 долларов США) с убытком 25% (500 долларов США). Взвешенная по времени доходность определяется путем умножения факторов роста за каждый год, то есть факторов роста до и после второго перевода в портфель, затем вычитания единицы и выражения результата в процентах:

(1+1.0)(1-0.25)-1=2.0\times 0.75-1=1.5-1=0.5=50\%

.

Из доходности, взвешенной по времени, мы видим, что отсутствие какой-либо чистой прибыли за двухлетний период было связано с неудачным моментом притока денежных средств в начале второго года.

В этом примере доход, взвешенный по времени, завышает доход инвестора, поскольку он не видит чистой прибыли. Однако, отражая результаты каждого года, суммированные на уравненной основе, взвешенная по времени доходность признает эффективность инвестиционной деятельности независимо от неудачного момента поступления денежных средств в начале второго года. в начале первого года доходность по любым меркам, скорее всего, составила бы 50%. 1500 долларов США выросли бы на 100% до 3000 долларов США в конце первого года, а затем снизились бы на 25% до 2250 долларов США в конце года 2, в результате чего общий выигрыш составил бы 750 долларов США, т.е. 50% от 1500 долларов США. Разница заключается в перспективе.

Поправка на потоки

Доходность портфеля при отсутствии потоков равна:

R={\frac {M_{2}-M_{1}}{M_{1}}}

где $M_{2}$ конечная стоимость портфеля, $M_{1}$ - первоначальная стоимость портфеля, а $R$ — доходность портфеля за период.

Фактором роста является:

1+R={\frac {M_{2}}{M_{1}}}

Внешние потоки в анализируемый период усложняют расчет показателей. Если внешние потоки не принимаются во внимание, измерение эффективности искажается: приток в портфель приведет к тому, что этот метод завысит истинную производительность, тогда как потоки из портфеля приведут к занижению истинной производительности.

Для компенсации внешнего потока $C_{1}$ в портфель в начале периода, скорректируйте первоначальную стоимость портфеля $M_{1}$ добавив $C_{1}$ . Возврат:

R={\frac {M_{2}-(M_{1}+C_{1})}{M_{1}+C_{1}}}

и соответствующий коэффициент роста:

1+R={\frac {M_{2}}{M_{1}+C_{1}}}

Для компенсации внешнего потока $C_{2}$ в портфель непосредственно перед оценкой $M_{2}$ в конце периода скорректировать окончательную стоимость портфеля $M_{2}$ вычитая $C_{2}$ . Возврат:

R={\frac {(M_{2}-C_{2})-M_{1}}{M_{1}}}

и соответствующий коэффициент роста:

1+R={\frac {M_{2}-C_{2}}{M_{1}}}

Взвешенная по времени доходность, компенсирующая внешние потоки

Предположим, что портфель оценивается сразу после каждого внешнего потока. Стоимость портфеля в конце каждого подпериода корректируется с учетом внешнего потока, который имеет место непосредственно перед ним. Внешние потоки в портфель считаются положительными, а потоки из портфеля – отрицательными.

1+R={\frac {M_{1}-C_{1}}{M_{0}}}\times {\frac {M_{2}-C_{2}}{M_{1}}}\times {\frac {M_{3}-C_{3}}{M_{2}}}\times \cdots \times {\frac {M_{n-1}-C_{n-1}}{M_{n-2}}}\times {\frac {M_{n}-C_{n}}{M_{n-1}}}

где

R

– это взвешенная по времени доходность портфеля,

M_{0}

— первоначальная стоимость портфеля,

M_{t}

стоимость портфеля на конец подпериода

t

, сразу после внешнего потока

C_{t}

,

M_{n}

окончательная стоимость портфеля,

C_{t}

чистый внешний приток в портфель, который происходит непосредственно перед концом подпериода

t

,

и

n

количество подпериодов.

Если в конце общего периода происходит внешний поток, то количество подпериодов $n$ соответствует количеству потоков. Однако если в конце общего периода потока нет, то $C_{n}$ равно нулю, а количество подпериодов $n$ на единицу больше числа потоков.

Если портфель оценивается непосредственно перед каждым потоком, а не сразу после него, то каждый поток следует использовать для корректировки начального значения в каждом подпериоде, а не конечного значения, в результате чего получается другая формула:

1+R={\frac {M_{1}}{M_{0}+C_{0}}}\times {\frac {M_{2}}{M_{1}+C_{1}}}\times {\frac {M_{3}}{M_{2}+C_{2}}}\times ...\times {\frac {M_{n-1}}{M_{n-2}+C_{n-2}}}\times {\frac {M_{n}}{M_{n-1}+C_{n-1}}}

где

R

– это взвешенная по времени доходность портфеля,

M_{0}

— первоначальная стоимость портфеля,

M_{t}

стоимость портфеля на конец подпериода

t

, непосредственно перед внешним потоком

C_{t}

,

M_{n}

окончательная стоимость портфеля,

C_{t}

чистый внешний приток в портфель, который происходит в начале подпериода

{t+1}

,

и

n

количество подпериодов.

Объяснение

Почему его называют «взвешенным по времени»

Термин «взвешенный по времени» лучше всего иллюстрируется непрерывными (логарифмическими) нормами доходности . Общая норма доходности представляет собой средневзвешенное по времени непрерывное значение доходности в каждом подпериоде.

При отсутствии потоков

{\text{End value}}={\text{start value}}\times e^{r_{\mathrm {log} }t}

где $r_{\mathrm {log} }$ это непрерывная норма доходности и $t$ это продолжительность времени.

Пример 2

В течение десятилетия портфель растет с постоянной доходностью 5% в год (в год) в течение трех из этих лет и 10% в год в течение остальных семи лет.

{\text{End value}}={\text{start value}}\times e^{0.05\times 3}\times e^{0.10\times 7}

={\text{start value}}\times e^{\left(0.05\times {\frac {3}{10}}+0.10\times {\frac {7}{10}}\right)\times 10}

Непрерывная, взвешенная по времени норма доходности за десятилетний период представляет собой средневзвешенное по времени:

5\%\times {\frac {3}{10}}+10\%\times {\frac {7}{10}}={\frac {5\%\times 3+10\%\times 7}{10}}=8.5\%

Обычная норма доходности, взвешенная по времени

Пример 3

Рассмотрим другой пример расчета годовой обычной доходности за пятилетний период для инвестиций, которые приносят 10% годовых в течение двух из пяти лет и -3% годовых в течение остальных трех. Обычная взвешенная по времени доходность за пятилетний период равна:

(1+0.10)(1+0.10)(1-0.03)(1-0.03)(1-0.03)-1

=1.1^{2}\times 0.97^{3}-1

=0.104334\ldots

=10.4334\ldots \%

а после пересчета на год норма прибыли составит:

(1.1^{2}\times 0.97^{3})^{1/(2+3)}-1

=1.0200\ldots -1

=2.00\ldots \%{\text{ p.a.}}

Промежуток времени, в течение которого норма прибыли составляла 10%, составлял два года, что выражается в степени двойки в коэффициенте 1,1:

1.1^{2}

Аналогично, норма прибыли составила -3% за три года, что выражается в степени тройки с коэффициентом 0,97. Затем результат пересчитывается в годовой объем за общий пятилетний период.

Измерение эффективности портфеля

Инвестиционные менеджеры оцениваются по инвестиционной деятельности, которая находится под их контролем. Если у них нет контроля над сроками потоков, то компенсация сроков потоков путем применения к портфелю метода истинной взвешенной по времени доходности является лучшим показателем эффективности инвестиционного менеджера на уровне всего портфеля.

Внутренние потоки и эффективность элементов портфеля

Внутренние потоки — это такие операции, как покупка и продажа активов внутри портфеля, в которых денежные средства, используемые для покупок, и денежные поступления от продаж также содержатся в одном и том же портфеле, поэтому внешний поток отсутствует. Денежные дивиденды по акциям в портфеле, которые сохраняются в том же портфеле, что и акции, представляют собой поток из акций на денежный счет внутри портфеля. Он является внутренним по отношению к портфелю, но внешним по отношению как к счету акций, так и к счету денежных средств, если рассматривать их по отдельности, изолированно друг от друга.

Метод, взвешенный по времени, отражает только эффект, обусловленный размером и сроками внутренних потоков в совокупности (т.е. в той мере, в какой они приводят к общей эффективности портфеля). По той же причине, что метод, взвешенный по времени, нейтрализует влияние потоков. Таким образом, он не фиксирует производительность частей портфеля, например производительность, обусловленную отдельными решениями на уровне безопасности, так эффективно, как он фиксирует общую производительность портфеля.

Взвешенная по времени доходность конкретной ценной бумаги, от первоначальной покупки до окончательной продажи, одинакова, независимо от наличия или отсутствия промежуточных покупок и продаж, их сроков, размера и преобладающих рыночных условий. Он всегда соответствует динамике цены акций (включая дивиденды и т. д.). Если эта особенность взвешенной по времени доходности не является желаемой целью, она, возможно, делает метод, взвешенный по времени, менее информативным, чем альтернативные методологии определения эффективности инвестиций на уровне отдельных инструментов. Чтобы атрибуция результатов на индивидуальном уровне ценных бумаг имела смысл, во многих случаях зависит от того, отличается ли доход от цены акций. Если доходность отдельных ценных бумаг соответствует доходности цены акций, эффект времени транзакции равен нулю.

См. пример 4 ниже, который иллюстрирует эту особенность метода, взвешенного по времени.

Пример 4

Предположим, инвестор покупает 10 акций по цене 10 долларов за акцию. Затем инвестор добавляет еще 5 акций той же компании, купленных по рыночной цене 12 долларов за акцию (без учета транзакционных издержек). Затем весь пакет из 15 акций продается по цене 11 долларов за акцию.

Вторая покупка кажется неудачной по сравнению с первой. Является ли этот неудачный момент очевидным из взвешенной по времени (периода владения) доходности акций, в отрыве от денежных средств в портфеле?

Чтобы рассчитать взвешенную по времени доходность этих конкретных пакетов акций, отдельно от денежных средств, использованных для покупки акций, рассматривайте покупку акций как внешний приток. Тогда фактор роста первого подпериода, предшествующий второй покупке, когда имеются только первые 10 акций, составит:

{\frac {\text{End value}}{\text{start value}}}={\frac {10\times 12}{10\times 10}}={\frac {120}{100}}=1.2

а коэффициент роста за второй подпериод после второй покупки, когда всего акций 15, составит:

{\frac {\text{End value}}{\text{start value}}}={\frac {15\times 11}{15\times 12}}={\frac {165}{180}}=0.91666\ldots

таким образом, общий коэффициент роста за период составит:

{\text{Product of sub-period growth factors}}={\text{first sub-period growth factor}}\times {\text{second sub-period growth factor}}

={\frac {120}{100}}\times {\frac {165}{180}}

={\frac {120\times 165}{100\times 180}}

={\frac {19,800}{18,000}}

=1.1

а взвешенная по времени доходность за период владения равна:

{\text{Growth factor}}-1=0.1=10\%

что соответствует простой доходности, рассчитанной с использованием изменения цены акции:

={\frac {{\text{End value}}-{\text{start value}}}{\text{start value}}}={\frac {11-10}{10}}

Неподходящий момент для второй покупки не повлиял на эффективность инвестиций в акции, рассчитанную с использованием метода, взвешенного по времени, по сравнению, например, с чистой стратегией «купи и держи» (т. е. покупка всех акций по начала и удержания их до конца периода).

Сравнение с другими методами возврата

Существуют и другие методы компенсации внешних потоков при расчете доходности инвестиций. Такие методы известны как «взвешенные по деньгам» или «взвешенные по доллару» методы. Взвешенная по времени доходность выше, чем результат других методов расчета инвестиционной доходности, когда внешние потоки плохо рассчитаны по времени – см. Пример 4 выше.

Внутренняя норма доходности

Одним из таких методов является внутренняя норма доходности . Как и настоящий метод доходности, взвешенной по времени, внутренняя норма доходности также основана на принципе начисления сложных процентов. Именно ставка дисконтирования установит чистую приведенную стоимость всех внешних потоков и конечную стоимость, равную стоимости первоначальных инвестиций. Однако решение уравнения для определения оценки внутренней нормы доходности обычно требует итеративного численного метода и иногда возвращает несколько результатов.

Внутренняя норма доходности обычно используется для измерения эффективности прямых инвестиций, поскольку основной партнер (инвестиционный менеджер) имеет больший контроль над сроками денежных потоков, чем партнер с ограниченной ответственностью (конечный инвестор).

Простой метод Дитца

Простой метод Дитца ^[3] применяет простой принцип процентной ставки в отличие от принципа начисления сложных процентов, лежащего в основе метода внутренней нормы доходности, и далее предполагает, что потоки происходят в средней точке временного интервала (или, что то же самое, что они распределяются равномерно в течение временного интервала). Однако метод Простого Дитца непригоден, если такие предположения неверны, и в таком случае он даст результаты, отличные от результатов других методов.

Простые доходы Дитца двух или более различных активов, составляющих портфель за один и тот же период, можно объединить, чтобы получить простую доходность портфеля Дитца, взяв средневзвешенное значение. Веса представляют собой начальное значение плюс половина чистого притока.

Пример 5

Применение метода Простого Дитца к акциям, приобретенным в примере 4 (выше):

{\text{Simple Dietz return}}={\frac {\text{gain or loss}}{{\text{start value}}+{\frac {1}{2}}\times {\text{net inflow}}}}

{\text{Gain or loss}}={\text{end value}}-{\text{start value}}-{\text{net inflow}}

=165-100-60

=5

так

{\text{Simple Dietz return}}={\frac {5}{100+{\frac {1}{2}}\times 60}}

={\frac {5}{130}}

=3.86\%{\text{ (2 d. p.)}}

что заметно ниже, чем 10%-ная доходность, взвешенная по времени.

Модифицированный метод Дитца

Модифицированный метод Дитца — это еще один метод, который, как и простой метод Дитца, применяет простой принцип процентной ставки. Вместо сравнения прироста стоимости (за вычетом потоков) с первоначальной стоимостью портфеля, он сравнивает чистый прирост стоимости со средним капиталом за определенный интервал времени. Средний капитал позволяет определить время каждого внешнего потока. Поскольку разница между модифицированным методом Дитца и методом внутренней нормы доходности состоит в том, что модифицированный метод Дитца основан на простом принципе процентной ставки, тогда как метод внутренней нормы доходности применяет принцип наложения процентов, оба метода дают схожие результаты за короткий период времени. временные интервалы, если норма прибыли низкая. В течение более длительных периодов времени, когда потоки значительны по сравнению с размером портфеля, а доходность не низкая, различия становятся более значительными.

Как и простой метод Дитца, модифицированные доходы Дитца двух или более различных составляющих активов в портфеле за один и тот же период можно объединить для получения модифицированной доходности портфеля Дитца, взяв средневзвешенное значение. Весом, который будет применяться к доходности каждого актива, в этом случае является средний капитал актива.

Пример 6

Снова обращаясь к сценарию, описанному в примерах 4 и 5, если вторая покупка происходит ровно в середине общего периода, модифицированный метод Дитца дает тот же результат, что и простой метод Дитца.

Если вторая покупка произошла раньше, чем в середине общего периода, прибыль, составляющая 5 долларов, остается той же, но средний капитал превышает начальную стоимость плюс половину чистого притока, что делает знаменатель модифицированной доходности Дитца. больше, чем в простом методе Дитца. В этом случае доходность модифицированного Дитца меньше доходности простого Дитца.

Если вторая покупка произошла позже, чем в середине общего периода, прибыль, составляющая 5 долларов, остается той же, но средний капитал меньше начальной стоимости плюс половина чистого притока, что делает знаменатель модифицированной доходности Дитца. меньше, чем в простом методе Дитца. В этом случае доходность модифицированного Дитца больше, чем доходность простого Дитца.

Независимо от того, насколько поздно в течение периода произойдет вторая покупка акций, средний капитал превышает 100, и поэтому модифицированная доходность Дитца составляет менее 5 процентов. Это все еще заметно меньше, чем 10-процентная доходность, взвешенная по времени.

Связанные методы возврата

Расчет «истинной доходности, взвешенной по времени» зависит от наличия оценок портфеля в течение инвестиционного периода. Если оценки недоступны при возникновении каждого потока, взвешенную по времени доходность можно оценить только путем геометрической связи доходности за смежные подпериоды с использованием подпериодов, в конце которых доступны оценки. Такой приблизительный метод доходности, взвешенной по времени, склонен завышать или занижать истинную доходность, взвешенную по времени.

Связанная внутренняя норма доходности (LIROR) — еще один подобный метод, который иногда используется для аппроксимации истинной доходности, взвешенной по времени. Он сочетает в себе метод истинной, взвешенной по времени доходности, с методом внутренней нормы доходности (IRR). Внутренняя норма доходности оценивается через регулярные промежутки времени, а затем результаты связываются геометрически. Например, если внутренняя норма доходности в течение последующих лет составляет 4%, 9%, 5% и 11%, то LIROR равен 1,04 x 1,09 x 1,05 x 1,11 – 1 = 32,12%. Если регулярные периоды времени не являются годами, то сначала рассчитайте либо негодовую версию IRR для каждого временного интервала, либо IRR для каждого временного интервала, а затем преобразуйте каждый из них в доходность периода владения за этот временной интервал, А затем свяжите вместе эти доходы за период владения, чтобы получить LIROR.

Возвращает методы при отсутствии потоков

Если внешних потоков нет, то все эти методы (доходность, взвешенная по времени, внутренняя норма доходности , модифицированный метод Дитца и т. д.) дают одинаковые результаты — только различные способы обработки потоков отличают их друг от друга. .

Логарифмическая доходность

Метод непрерывной или логарифмической доходности не является конкурирующим методом компенсации потоков. Это просто натуральный логарифм $ln\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)$ фактора роста.

Сборы

Чтобы измерить доходность за вычетом комиссий, позвольте стоимости портфеля быть уменьшенной на сумму комиссий. Чтобы рассчитать доходы до вычета комиссий, компенсируйте их, рассматривая их как внешний поток, и исключите из оценок отрицательный эффект начисленных комиссий.

Годовая доходность

Доходность и норма доходности иногда рассматриваются как взаимозаменяемые термины, но доход, рассчитанный с помощью такого метода, как метод, взвешенный по времени, представляет собой доход за период владения на доллар (или на какую-либо другую единицу валюты), а не на год (или другую единицу валюты). времени), за исключением случаев, когда период владения составляет один год. Приведение к годовому доходу, то есть преобразование в годовую норму прибыли, представляет собой отдельный процесс. См. статью «Доходность» .

См. также

Ссылки

^ Измерение инвестиционной эффективности пенсионных фондов , Институт банковского управления, декабрь 1968 г.
^ Измерение эффективности инвестиций , Уильям Г. Бейн, Woodhead Publishing; 1 издание (13 марта 1996 г.) ISBN 978-1855731950
^ Дитц, Питер О. Пенсионные фонды: измерение эффективности инвестиций . Свободная пресса, 1966.

Дальнейшее чтение

Карл Бэкон. Практическое измерение и атрибуция эффективности портфеля. Западный Суссекс: Уайли, 2003. ISBN 0-470-85679-3
Брюс Дж. Фейбел. Оценка эффективности инвестиций. Нью-Йорк: Уайли, 2003. ISBN 0-471-26849-6

[1] Измерение инвестиционной эффективности пенсионных фондов , Институт банковского управления, декабрь 1968 г.

[2] Измерение эффективности инвестиций , Уильям Г. Бейн, Woodhead Publishing; 1 издание (13 марта 1996 г.) ISBN 978-1855731950

[3] Дитц, Питер О. Пенсионные фонды: измерение эффективности инвестиций . Свободная пресса, 1966.

[1]

[2]

[3]