Площадь комнаты
Квадрат комнаты , названный в честь комнаты Томаса Джеральда , представляет собой массив n × n, заполненный n + 1 различными символами таким образом, что:
- Каждая ячейка массива либо пуста, либо содержит неупорядоченную пару из набора символов.
- Каждый символ встречается ровно один раз в каждой строке и столбце массива.
- Каждая неупорядоченная пара символов встречается ровно в одной ячейке массива.
Пример: Комнатный квадрат седьмого порядка, если набор символов — целые числа от 0 до 7:
| 0,7 | 1,5 | 4,6 | 2,3 | |||
| 3,4 | 1,7 | 2,6 | 0,5 | |||
| 1,6 | 4,5 | 2,7 | 0,3 | |||
| 0,2 | 5,6 | 3,7 | 1,4 | |||
| 2,5 | 1,3 | 0,6 | 4,7 | |||
| 3,6 | 2,4 | 0,1 | 5,7 | |||
| 0,4 | 3,5 | 1,2 | 6,7 |
Известно, что квадрат комнаты (или квадраты) существует тогда и только тогда, когда n нечетно, но не равно 3 или 5.
История
[ редактировать ]Квадрат комнаты порядка 7 был использован Робертом Ричардом Анстисом для предоставления дополнительных решений проблемы школьницы Киркмана в середине 19 века, и Анстис также построил бесконечное семейство квадратов комнаты, но его конструкции не привлекли внимания. [1] Томас Джеральд Рум заново изобрел квадраты комнаты в заметке, опубликованной в 1955 году: [2] и они стали называться в его честь. В своей оригинальной статье на эту тему Роум заметил, что n должно быть нечетным и не равным 3 или 5, но не было показано, что эти условия одновременно необходимы и достаточны до работы У.Д. Уоллиса в 1973 году. [3]
Приложения
[ редактировать ]До появления статьи «Рома» квадраты комнаты использовались руководителями дублирующих турниров по бриджу при построении турниров. В этом приложении они известны как вращения Хауэлла. Столбцы квадрата представляют собой таблицы, каждая из которых содержит колоду карт, разыгранную каждой парой команд, встречающихся за этим столом. Строки квадрата обозначают раунды турнира, а числа в ячейках квадрата обозначают команды, которые должны играть друг с другом за столом и раундом, представленными этой ячейкой.
Арчболд и Джонсон использовали квадраты комнаты для создания экспериментальных проектов. [4]
Существуют связи между квадратами Комнаты и другими математическими объектами, включая квазигруппы , латинские квадраты , факторизации графов и системы троек Штейнера . [5]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Роберт Анстис» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс .
- ^ Комната, TG (1955), «Новый тип магического квадрата», The Mathematical Gazette , 39 : 307, doi : 10.2307/3608578 , JSTOR 3608578 , S2CID 125711658
- ^ Хиршфельд, JWP ; Уолл, GE (1987), «Комната Томаса Джеральда. 10 ноября 1902–201 апреля 1986 года», Биографические мемуары стипендиатов Королевского общества , 33 : 575–601, doi : 10.1098/rsbm.1987.0020 , JStor 769963 , S2CID 7328766 ; также опубликовано в журнале «Исторические отчеты австралийской науки» 7 (1): 109–122, дои : 10.1071/HR9870710109 ; сокращенная версия доступна на веб-сайте Австралийской академии наук.
- ^ Арчболд, Дж.В.; Джонсон, Н.Л. (1958), «Построение квадратов Рума и применение в экспериментальном планировании», Annals of Mathematical Статистика , 29 : 219–225, doi : 10.1214/aoms/1177706719 , MR 0102156
- ^ Уоллис, WD (1972), «Часть 2: Квадраты комнаты», в Уоллисе, WD; Стрит, Энн Пенфолд ; Уоллис, Дженнифер Себерри (ред.), Комбинаторика: комнатные квадраты, множества без сумм, матрицы Адамара , Конспекты лекций по математике , том. 292, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 30–121, doi : 10.1007/BFb0069909 , ISBN. 0-387-06035-9 ; см., в частности, стр. 33
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Диниц, Дж. Х.; Стинсон, Д.Р. (1992), «Квадраты комнат и связанные с ними конструкции», Диниц, Дж. Х.; Стинсон, доктор медицинских наук (ред.), Современная теория дизайна: сборник обзоров , серия Wiley – Interscience по дискретной математике и оптимизации, John Wiley & Sons , стр. 137–204, ISBN 0-471-53141-3
- Вайсштейн, Эрик В. , «Комнатная площадь» , MathWorld